Свойства числовых рядов.

Теорема 1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд , также сходится и его сумма равна kS.

Теорема 2.Если ряды

сходятся и имеют соответственно суммы S и S¢, то ряд получающийся почленным сложением данных рядов, также сходится и имеет сумму S+S¢.

Теорема 3.Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа k его первых членов. (Коротко, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов).

Пример

Найти сумму ряда

Решение.

Представим наш ряд в виде суммы двух рядов, пользуясь теоремами 1 и 2:

Оба ряда являются рядами геометрическими. Существенным является то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В данном примере мы заранее знаем, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, раскладываем исходный ряд в два ряда.

Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

, где а₁ – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.

.

Итак, общий алгоритм исследования ряда на сходимость заключается в необходимости составления n-ой частичной суммы ряда S_n и нахождении предела .

Пример

Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

На первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов:

В результате:

Составим частичную сумму ряда

Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются:

Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:

.

Предел частичных сумм ряда равен числу, т.е. конечен, следовательно, исходный ряд сходится.

В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши, некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда