Основные понятия.

Тема 3.4 Числовые ряды.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

Определение.Выражение называется бесконечным числовым рядом, или просто рядом.

- первый член ряда;

- второй член ряда;

- n-ый или общий член ряда.

Коротко ряд можно записать в виде .

Здесь:

– математический значок суммы;

– общий член ряда;

n – переменная-«счётчик».

Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной n иногда используется переменная k или m. Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа.

Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда, т.е. задан общий член ряда , как функция номера n:

Пример

Записать первые три члена ряда .

Решение.

Выбирая первые три номера, найдем члены ряда с этими номерами:

Сначала , тогда ;

Затем , тогда ;

Потом , тогда .

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому ответ:

Пример

Записать первые три члена ряда .

Решение.

Подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ лучше оставить в таком виде и полученные члены ряда не упрощать, то есть не выполнять действия: .

Иногда встречается обратное задание.

Пример

Записать данный ряд в свёрнутом виде с общим членом ряда:

Решение.

Для записи ряда в свернутом виде необходимо найти формулу общего члена ряда. При этом нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.

В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

Пример

Записать данный ряд в свёрнутом виде с общим членом ряда

Решение.

Иногда ряд задается с помощью рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда. Например, пусть

Получим:

и т.д.

Искомый ряд

Рассмотрим суммы первых n членов ряда. Такие суммы называют n-ми частичными суммами ряда:

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость.

Определение.Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм S_n при неограниченном возрастании номера n, т.е. .

Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда. Таким образом, если числовой ряд сходится, то его можно просуммировать, т.е. он имеет конечную сумму.

Если последовательность S_n частичных сумм рядане имеет предела или этот предел равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

В качестве примера можно привести бесконечную геометрическую прогрессию:

, где q – знаменатель геометрической прогрессии.