Теорема о кинетической энергии

Где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Сейчас нам пригодится выражение (1.6 а), которое получено при равноускоренном движении. Но вывод мы сделаем универсальный, который и называется теоремой о кинетической энергии. Итак, перепишем равенство (1.6 а)

a·x=(V² –V₀²)/2.

Умножим обе части равенства на массу частицы, получим

Fx=m(V² –V₀²)/2.

Окончательно

А= mV²/2 – mV₀²/2. (2.9.1)

Величину Е= mV²/2 называют кинетической энергией частицы.

Вы привыкли, что в геометрии теоремы имеют свою устную формулировку. Чтобы не отстать от этой традиции, представим теорему о кинетической энергии в виде текста.

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на него.

Данная теорема носит универсальный характер, т. е. справедлива для любого вида движения. Однако точное её доказательство связано с применением интегрального исчисления. Поэтому мы его опускаем.

Рассмотрим пример движения тела в поле тяжести. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, соединяющей начальную и конечную точки, а определяется только разностью высот в начальном и конечном положениях:

А=mg(h₁–h₂). (2.9.2)

Примем какую-нибудь точку поля тяжести за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силой тяжести при перемещении частицы в эту точку из другой произвольной точки Р, находящейся на высоте h. Эта работа равна mgh и называется потенциальной энергией Е_п частицы в точке Р:

Е_п = mgh (2.9.3)

Теперь преобразуем равенство (2.9.1), механическая теорема о кинетической энергии примет вид

А= mV²/2 – mV₀²/2= Е_п1 – Е_п2. (2.9.4)

Или

mV²/2+ Е_п2 = mV₀²/2+ Е_п1 .

В этом равенстве в левой части стоит сумма кинетической и потенциальной энергии в конечной точке траектории, а в правой – в начальной.

Эту сумму называют полной механической энергией. Будем обозначать ее Е.

Е= Е_к + Е_п .

Мы пришли к закону сохранения полной энергии: в замкнутой системе полная энергия сохраняется.

Однако следует сделать одно замечание. Пока мы рассматривали пример так называемых консервативных сил. Эти силы зависят только от положения в пространстве. А работа, совершаемая такими силами при перемещении тела из одного положения в другое, зависит только от этих двух положений и не зависит от пути. Работа, совершаемая консервативной силой, является механически обратимой, т. е. меняет свой знак при возврате тела в исходное положение. Сила тяжести является консервативной силой. В дальнейшем мы познакомимся с другими видами консервативных сил, например, с силой электростатического взаимодействия.

Но в природе бывают и неконсервативные силы. Например, сила трения скольжения. Чем больше путь частицы, тем большую работу совершает сила трения скольжения, действующая на эту частицу. Кроме того, работа силы трения скольжения всегда отрицательна, т. е. «вернуть» энергию такая сила не может.

Для замкнутых систем полная энергия, конечно, сохраняется. Но для большинства задач механики более важным является частный случай закона сохранения энергии, а именно закон сохранения полной механической энергии. Вот его формулировка.

Если на тело действуют только консервативные силы, то его полная механическая энергия, определяемая как сумма кинетической и потенциальной энергий, сохраняется.

В дальнейшем нам понадобятся ещё два важных равенства. Как всегда, вывод заменим простой демонстрацией частного случая поля тяжести. Но вид этих равенств будет справедлив для любых консервативных сил.

Приведем равенство (2.9.4) к виду

А=F∆x= Е_п1 – Е_п2 = –( Е_п.кон – Е_п.нач)= – ∆U.

Здесь мы рассмотрели работу А при перемещении тела на расстояние ∆x. Величину ∆U, равную разности конечной и начальной потенциальной энергии, называют изменением потенциальной энергии. А полученное равенство заслуживает отдельной строчки и специального номера. Поспешим его присвоить ему:

А= – ∆U (2.9.5)

Отсюда же вытекает математическая связь между силой и потенциальной энергией:

F= – ∆U/∆x (2.9.6)

В общем случае, не связанном с полем тяжести, равенство (2.9.6) представляет собой простейшее дифференциальное уравнение

F= – dU/dx.

Последний пример рассмотрим без доказательства. Гравитационная сила описывается законом всемирного тяготения F(r)=GmM/r² и является консервативной. Выражение для потенциальной энергии гравитационного поля имеет вид:

U(r)= –GmM/r.

Автор: – Разберем простой случай. На тело массой m, находящееся на горизонтальной плоскости, действует в течение промежутка времени Т горизонтальная сила F. Трение отсутствует. Чему равна работа силы F?

Студент: – За время Т тело переместится на расстояние S=аТ²/2, где а=F/m. Следовательно, искомая работа есть А=FS=F²T²/(2m).

Автор: Все правильно, если считать, что тело покоилось до того, как на него начала действовать сила. Несколько усложним задачу. Пусть до начала действия силы тело двигалось прямолинейно и равномерно с некоторой скоростью V₀ , сонаправленной с внешней силой. Чему теперь равна работа за время Т?

Студент: – Для расчета перемещения возьму более общую формулу S= V₀T+ аТ²/2, для работы получаю А=F(V₀T+ аТ²/2). Сравнивая с предыдущим результатом, вижу, что одна и та же сила за одинаковые промежутки времени производит разную работу.

Автор: – Да, такова особенность ускоренного движения.

Автор: – Обратимся к рис.2.9.1.

Рис.2.9.1

Тело массой m скользит вниз по наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения скольжения тела о плоскость k. На тело все время действует горизонтальная сила F. Чему равна работа этой силы при перемещении тела на расстояние S?

Студент: – Произведем расстановку сил и найдем их равнодействующую. На тело действует внешняя сила F, а также силы тяжести, реакции опоры и трения.

Автор(перебивая): – Дело в том, что хотя Вы и правильно указали все силы, но речь идёт только об одной. Давайте справимся с "инерцией" мышления и перейдём ближе к делу без лишних действий.

Студент: – Получается, что работа А= FScosα и всё. Меня действительно подвела привычка каждый раз искать все силы, тем более что в задаче указана масса и коэффициент трения.

Автор: – Чтобы Вам было необидно, я попрошу вычислить работу, совершаемую каждой силой в этой задаче. Перемещение прежнее.

Студент: – Работу силы F я уже вычислил: А₁= FS cosα. Работа силы тяжести есть А₂=mgSsinα. Работа силы трения … отрицательна, т. к. векторы силы и перемещения противоположно направлены: А₃= – kmgScosα. Работа силы реакции N равна нулю, т. к. сила и перемещение перпендикулярны. Правда, я не очень понимаю смысла отрицательной работы?

Автор: – Это означает, что работа данной силы уменьшает кинетическую энергию тела. Кстати. Давайте обсудим движение тела, изображенного на рис.2.9.1, с точки зрения закона сохранения энергии. Для начала найдите суммарную работу всех сил.

Студент: – А= А₁ + А₂ + А₃ = FScosα+ mgSsinα– kmgScosα.

По теореме о кинетической энергии разность кинетических энергий в конечном и начальном состояниях равна совершенной над телом работе:

Е_к –Е_н =А.

Автор: – В школе Вы, наверное, часто писали выражения как кинетической, так и для потенциальной энергии. Куда же делась потенциальная энергия в Вашем равенстве?

Студент: – Может быть, это были другие уравнения, не относящиеся к данной задаче?

Автор: – Но все уравнения должны давать одинаковый результат. Дело в том, что потенциальная энергия содержится в скрытом виде в выражении для полной работы. Действительно, вспомните А₂=mgSsinα=mgh, где h – высота спуска тела. Получите, теперь из теоремы о кинетической энергии выражение закона сохранения энергии.

Студент: – Так как mgh=U_н – U_к , где U_н и U_к соответственно начальная и конечная потенциальные энергии тела, то имеем:

mV_н²/2 + U_н + А₁ + А₃ = mV_к²/2+ U_к .

Автор: – Мы уже отмечали, что трение скольжения приводит к диссипации энергии, т. е. механическую энергию переводит в тепло. Посчитайте количество выделившегося тепла.

Студент: – Это, по-моему, легко. Работа силы трения по модулю как раз и равна количеству теплоты Q. Поэтому Q= kmgScosα.

Автор: – Перепишите уравнение энергетического баланса, используя Q.

Студент: mV_н²/2 + U_н + А₁ – Q = mV_к²/2+ U_к .

Автор: – Теперь несколько обобщим определение работы. Дело в том, что соотношение (2.9.1) верно только для случая действия постоянной силы. Хотя есть немало случаев, когда сила сама зависит от перемещения частицы. Приведите пример.

Студент: – Первое, что приходит в голову, это растяжение пружины. По мере перемещения незакрепленного конца пружины сила, все увеличивается. Второй пример связан с маятником, который, как мы знаем, сложнее удержать при больших отклонениях от положения равновесия.

Автор: – Хорошо. Давайте остановимся на примере с пружиной. Сила упругости идеальной пружины описывается законом Гука, в соответствии с которым при сжатии (или растяжении) пружины на величину х возникает сила, противоположно направленная смещению, линейно зависящая от х. Запишем закон Гука в виде равенства:

F= – kx (2.9.2)

Здесь k – коэффициент жесткости пружины, x – величина деформации пружины. Изобразите график зависимости F(x).

Студент: Мой чертеж представлен на рисунке.