Понятие простого и сложного процента.

Предоставляя денежные средства в долг, их владелец получа­ет определенный доход в виде процентов, начисляемых по некото­рому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых опе­рациях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда про­центная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразуме­вающей однократное начисление процентов по истечении года пос­ле получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

• схема простых процентов (simple interest);

• схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с ко­торой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый ка­питал равен Р; требуемая доходность — г (в долях единицы). Счи­тается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Pr. Таким образом, размер инвестированного капитала (R_n) через п лет будет равен:

R_n = Р + Р r + ... + Рr = Р* (1 + n r). (3)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного про­цента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной ве­личины инвестированного капитала, а с обшей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором про­центы. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: FV₁ = Р + Рr = Р(1+ r);

к концу второго года: FV₂= FV₁ + FV₁r = FV₁ *(1 + г) = P * (1+ r)²;

к концу n-го года: FV_n = P*(1+r)ⁿ

Как же соотносятся величины R_n и F_n. Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величи­ны п

Графически взаимосвязь можно представить следующим образом (рис. 2).

 

 

Рис.2 Простая и сложные схемы наращения капиталаТаким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительнос­ти периода один год и однократном начислении процентов.

В случае краткосрочных ссуд со сроком погашения до одного года в качестве показателя п берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем пе­риоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах мо­жет округляться: месяц — 30 дней; квартал — 90 дней; полугодие — 180 дней; год — 360 (или 365,366) дней.

Пример

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если: а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет (если считать, что в году 360 дней).

Результаты расчетов имеют следующий вид:(тыс.руб.)

 

Схема начисления	90 дней (n=1/4)	180 дней (n=1/2)	1 год (n=1)	5 лет (n=5)	10 лет (n=10)
Простые проценты Сложные проценты	1.05 1.0466	1.10 1.0954	1.20 1.20	2.0 2.4883	3.0 6.1917

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов — 1,05 тыс. руб.; при ис­пользовании схемы сложных процентов — 1,0466 тыс. руб. Следова­тельно, более выгодна первая схема (разница — 3,4 руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меня­ется диаметрально — более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следую­щим темпом; при использовании схемы простых процентов—за пять лет, а при использовании схемы сложных процентов — менее чем за четыре года.

 

Использование в расчетах сложного процента в случае многократ­ного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении про­стого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных про­ектах или текущей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значе­ния множителя FM1(r, n), называемого мультиплицирующим множи­телем для единичного платежа, обеспечивающего наращение сто­имости, табулированы для различных значений r и n (см. приложение 3).

Формула наращения по схеме сложных процентов имеет вид:

FV_n=P(1+r)ⁿ= P FM 1 (r, n), где

FV_n –сумма, ожидаемая к поступлению через п базисных периодов;

r – ставка наращивания

FM 1 (r, n),- мультиплицирующий множитель.

Множитель FM1 (r,n)= (1+r)ⁿ

Экономический смысл множителя FM1(r, п) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.) через п периодов при заданной про­центной ставке r, т.е. он оценивает будущую стоимость одной денежной единицы. Подчеркнем, что при пользовании этой и последу­ющими финансовыми таблицами необходимо следить за соответстви­ем длины периода и процентной ставки. Так, если базисным перио­дом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

 

3.3.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут использоваться различные схемы и мето­ды начисления процентов. В частности, большое распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в расчетах используют промежуточную процентную ставку, ко­торая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временно­го интервала в году.

F = P*(1+f*r)(7.5)

где r— годовая процентная ставка в долях единицы;

t— продолжительность финансовой операции в днях;

T — количество дней в году;

f — относительная длина периода до погашения ссуды.

Для наглядности формулу (7.5) можно записать следующим образом:

F = P* (1+t*r/T), т.е. дробь r/Т представляет собой дневную ставку, а произведение t * r/Т— ставку за t дней.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависи­мости от того, чему берется равной продолжительность (года, кварта­ла, месяца), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны два варианта:

• точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

• обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенно­го числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выда­на ссуда, также возможны два варианта:

• принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

• принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (ис­ходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользу­ются специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумеро­ваны. Продолжительность финансовой операции определяется вы­читанием номера первого дня из номера последнего дня (приложе­ние 2).

3.3.3. ВНУТРИГОДОВЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается величина годового процента и количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подин­тервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годо­вой ставки по формуле

Fn=P*(1+r/m)^n*m, где г — объявленная годовая ставка; m — количество начислений в году; n — количество лет.

Пример

Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодо­вым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начис­ление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Период Сумма, с которой идет Ставка Сумма к концу

начисление (в долях ед.) периода

6 месяцев 5,0 х 1,10 = 5,5

12 месяцев 5,5 х 1,10 = 6,05

18 месяцев 6,05 х 1,10 = 6,655

24 месяца 6,655 х 1,10 = 7,3205

Если пользоваться формулой (7.7), то m = 2, п = 2, следовательно: Fn = 5 * (1 + 20% : 100% : 2)⁴= 7,3205 тыс. руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по став­ке 5% (20% : 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:

Fn = 5 * (1 + 0,2/4)⁸ = 7,387 тыс. руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентны 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих биз­несменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Заметим, что для простых процентов такие выводы не имеют место. Одно из характерных свойств наращения по простым про­центам заключается в том, что наращенная сумма не изменяется с увеличением частоты начислений простых процентов. Например, наращение Простыми процентами ежегодно по ставке 10% годовых дает тот же результат, что и ежеквартальное наращение простыми процентами по ставке 2,5% за квартал. При наращении по сложным процентам ежеквартальное начисление составляет больший резуль­тат, чем ежегодное.

3.3.4. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заклю­чаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

• по схеме сложных процентов:

Fn=P∙(l +r)^w+f (7.8)

• по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной час­ти года):

Fn=P∙(1+r)^w∙(1+f∙r) (7.9)

гае w — целое число лет; /— дробная часть года.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (7.8): Fn = 10 • (1 + 0,3)^2+0-5 = 19,269 тыс. руб.

По формуле (7.9): Fn = 10 • (1 + 0,3)²• (1 + 0,3 ∙ 0,5) =19,435 тыс. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

3.3.5. ЭФФЕКТИВНАЯ ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

Различными видами финансовых контрактов могут предусматри­ваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности та­ких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка г_е, обеспечивающая переход от Р к F_n при заданных значениях этих показателей и одно­кратном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номи­нальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне опре­деленное значение наращенной величины F₁. Требуется найти такую годовую ставку г_е, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. m = 1. Иными словами, схемы {Р, F₁, r, m> 1} и {P, F₁, r_e, m = 1} должны быть равносильными.

Из формулы (3.7) следует, что в рамках одного года

F₁ =Р*(1+r/m)^m.

Из определения эффективной годовой процентной ставки получа­ется, что

F₁=P*(1+r_e),

отсюда

г_е =(1+r/m)^m- 1. (3.13)

Из формулы (3.13) следует, что эффективная ставка зависит от ко­личества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увели­чивается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка r_е является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространствен­но-временных сопоставлений.

Пример

Предприниматель может получить ссуду: а) либо на условиях еже­месячного начисления процентов из расчета 26% годовых, б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годо­вых. Какой вариант более предпочтителен?

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссу­ды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки — чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле (3.13):

вариант (а):

r_е = ( 1 + 0,26/12)¹² - 1 = 0,2933, или 29,3%;

вариант (б):

г_e = (1 + 0,27/2)² - 1 = 0,2882, или 28,8%.

Таким образом, вариант (б) является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относи­тельный показатель — эффективная ставка, а она, как следует из фор­мулы (3.13), зависит лишь от номинальной ставки и количества на­числений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового менеджера. Принятие решения о привлече­нии средств, например банковской ссуды на тех или иных условиях, делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процен­тной ставки, которая в этом случае характеризует относительные рас­ходы заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или умыш­ленно внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, ко­торая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки. Рассмотрим простейший пример.

Пример

Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различ­ной частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 10%. По формуле (3.13):

m.						∞
гe	0,10	0,1025	0,10381	0,10471	0,10516	0,10517

 

Различие между двумя ставками может быть гораздо более рази­тельным при заключении некоторых специальных кредитных догово­ров, например при оформлении кредита на условиях добавленного процента.

Математически можно показать, что при m > 1 справедливо не­равенство г_е > г, которое, очевидно, следует и из финансовых сооб­ражений.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать — эффективную или номинальную, поскольку использо­вание как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью приближения) наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку и, следовательно, формулу (3.7). В Европейских странах, как правило, вначале определяют эффектив­ную ставку г_е и затем пользуются формулой F_n = Р * (1 + г_е )ⁿ.

Из формулы (3.13) следует, в частности, соотношение для опреде­ления номинальной ставки, если в контракте указаны эффективная годовая процентная ставка г_е и число начислений сложных процен­тов m:

г = m * [(1+г_e)^1m - 1].

Пример

Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно. Поскольку г_е = 0,18 и m = 12, то:

r=12*[(1+0,18)^1/12-1] = 0,1667, или r=16,67%.

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по став­ке 18% годовых дает тот же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%.