Вопрос № 7 Зависимость между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно любой точки, лежащей на этой оси

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 1.17). Момент этой силы относительно произвольной точки О, ле­жащей на оси z, перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ и по величине равен удвоенной его площади

Проведя через точку О плоскость хОу перпендикулярно оси z и проецируя силу F на эту плоскость найдём

Треугольник О А'В' представляет собой проекцию треугольника ОАВ на плос­ кость хОу. Известно, что площадь проекции равна площади проецируе­мой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фи­гуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями треугольников ОАВ и О А'В' равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т.е. углу а между осью z и вектором mо(F) (см. рис. 1.17). Поэтому (3) Умножая равенстве (3) на 2 и учитывая формулы (1) и (2), находим Таким образом, доказана следующая теорема.

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектор-момента силы относительно произвольной точки, лежащей на этой оси.

Доказанная теорема позволит нам в дальнейшем при использо­вании проекций момента силы на оси координат говорить об этих про­екциях как о моментах силы относительно соответствующих осей.

Вопрос № 8 Докажите аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей

Если сила F задана своими проекциями Fx, Fy, Fz и координата­ми х, у, z точки приложения, то момент силы относительно начала ко­ординат может быть представлен в виде определителя третьего порядка* Разлагая этот определитель по элементам первой строки, найдем разло­жение вектора mo(F) по ортам декарто­вой системы координат

 

 

 

 

Коэффициенты при единичных ортах в формуле (2) равны про­екциям вектор-момента силы на оси координат. С другой стороны, согласно теореме с связи между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно любой точки, лежащей на этой оси проекции вектор-момента силы на оси координат, равны моментам силы относительно этих осей. Таким образом, С помощью этих формул момент силы относительно оси можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

Вопрос № 9 Сформулируйте и докажите правило сложения двух параллельных сил

Рассмотрим сначала систему двух параллельных сил Р и Q, на­правленных в одну сторону (рис. 1.20). Требуется найти их равнодействую­щую. Будем считать точками приложе­ния сил Р и О точки А и В. Соединим эти точки прямой АВ и приложим к ним две равные по модулю силы S и S', на­правленные по прямой АВ в противопо­ложные стороны, т.е. систему сил S и S', эквивалентную нулю, (S, S')~0.

Сложив теперь силы Р и S и силы Q и S^’ получим их равнодействующие R1 и R2 которые уже не параллельны. Очевидно, что (Р, Q)~(R1 R2). Далее, продолжим линии действия сил R1 иR2 до их пересечения в точке О и перенесем R1 и R2 в эту точку. Теперь каждую силу R1 и R2 разложим по правилу параллелограмма на составляющие силы Р и S, Q и S',параллельные прямой АВ и силам Р и Q. Таким образом, наша система сил свелась к системе сил, приложенных к одной точке О.

Рассмотрим систему четырех сил (Р, Q, S, S') приложенныхк точке О. Систему сил (S, S') как эквивалентную нулю отбросим. Оста­ются две силы Р и Q, которые приложены к одной точке, направлены в одну сторону и действуют по прямой ОС, которая параллельна линиям действия данных сил Р и Q. Следовательно, равнодействующая этих сил будет по модулю равна сумме модулей слагаемых сил, т.е. R=P+Q, (1) и направлена параллельно данным силам. Из подобия соответствующих треугольников имеем: Разделив почленно одну пропорцию на другую, получим

Таким образом, линия действия равнодействующей проходит через точ­ку С, которая находится на отрезке АВ и делит отрезок АВ внутренним образом на части, обратно пропорциональные данным силам.

Составив из пропорции (3) производные пропорции, получим

или, учитывая равенство (1) и помня, что АС+СВ=АВ, получим

Итак, система двух параллельных сил, направленных в одну

сторону, имеет равнодействующую, которая по модулю равна сумме модулей данных сил, параллельна им и направлена в ту же сторону.

Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая делит отрезок АВ, соединяющий точки приложения данных сил, на части, обратно пропорциональные этим силам, внутренним образом.