Б.Ф.БАЛЕЕВ 4. Кулачковый механизм
В сущности, проектирование сводится к определению минимального кулачка 
, который должен быть таким, чтобы угол давления 
не превышал допустимой величины 
в любом положении механизма. Угол давления- угол между векторами силы 
, действующей на толкатель, и скорости 
точки толкателя, к которой эта сила приложена.
Для решения поставленной задачи удобно пользоваться аналоговыми величинами: перемещением 
1), аналогом скорости 
1, аналогом ускорения 
, так как все эти величины имеют размерность длины, следовательно, могут быть изображены не условно, в виде отрезков. Например, на рис. 1 отрезок ОС1 является аналогом скорости толкателя в данном положении механизма, так как точка С 1– мгновенный центр скоростей кулачка и толкателя, следовательно скорость этой точки кулачка равна скорости толкателя:
; 
. (1)
Положение толкателя за цикл дважды бывает одинаковым – в фазе удаления и фазе возращения, но этим фазам соответствует разные аналоги скоростей.(ОС1 на рис.1 и ОС2 на рис.2).
Рис 1 К определению аналога скорости в фазе удаления толкателя.
При проектировании механизма известен ход толкателя и соответствующие аналоги скоростей. По этим данным нужно найти центр вращения кулачка и, следовательно, его минимальный радиус как расстояние от центра вращения до нижнего положения толкателя.
Рис 2 К определению аналога скорости в фазе возвращения.
Из рис. I и 2 нетрудно установить, что по известному положению толкателя (точке К) и соответствующим этому положению аналогам скоростей в фазах удаления и возвращения- отрезкам ОС1 и ОС2, можно найти центр вращения кулачка – точку 0. Для этого требуется отложить от точки К отрезки-аналоги скоростей 
= ОС1 и 
= ОС2 перпендикулярно направлению перемещения толкателя и провести прямые через концы этих отрезков (точки 
и 
) под допустимыми углами давления к нормалям или под углами передачи движения 
к самим отрезкам-аналогам скоростей (рис.3). Направление отрезков-аналогов и определяется по правилу векторного произведения 
. Так , например, в фазе удаления (рис.1) отрезок КС расположен слева от линии перемещения толкателя, а в фазе возвращения (рис.2) – справа, так как изменилось направление скорости толкателя V на противоположное. Если принять точку пересечения прямых (рис.3) за центр вращения кулачка, то только в этих двух положениях будет соблюдено условие незаклинивания механизма.
Рис .3 Положение центра вращения кулачка, удовлетворяющего одному положению толкателя.
Рис.4 Определение центра вращения кулачка и его минимального радиуса.
Выполнив аналогичные построения для других положений толкателя, получают еще несколько возможных центров вращения кулачка. Очевидно, что из всех полученных центров можно выбрать такой, при котором заклинивания не произойдет в любом положении механизма, то есть углы давления всегда будут меньше допустимых значений. Этому условию удовлетворяет точка пересечения прямых, наиболее удаленная от нижнего положения толкателя ( точки К0). Поскольку все отрезки-аналоги скоростей – параллельные прямые, постольку для получения наиболее удаленной от нижнего положения толкателя точки пересечения достаточно провести две касательные к кривой зависимости аналогов скоростей от перемещения толкателя (рис.4). Минимальным радиусом является отрезок ОК0. Для центрального толкателя минимальным радиусом будет отрезок О1К0. Известно, что можно выбирать любое положение центра вращения в заштрихованной зоне.
Для механизма с качающимся толкателем рассуждения подобны изложенным выше. Аналогом угловой скорости является в этом случае производная от угла поворота толкателя по углу поворота кулачка 
Аналог угловой скорости, умноженный на длину толкателя 
, является аналогом линейной скорости конца толкателя. На схеме (рис.5) этому аналогу соответствует отрезок КМ:
; 
. (2)
Центр вращения кулачка – точка 0 определяется следующим образом. Ход толкателя (траектория точки К) разбивается в соответствии с диаграммой перемещений и откладываются соответствующие отрезки-аналоги скоростей в направлении лучей, проходящих через точки давления и центр вращения толкателя – точку О2 (рис.6). Направление отрезков-аналогов определяет по правилу векторного произведения 
.
Рис.5 К определению аналога скорости качающегося толкателя.
Через концы отрезков-аналогов скоростей проводят прямые под углами 
к нормалям или 
к отрезкам –аналогам и определяет точку, пересечения двух лучей, наиболее удаленную от нижнего положения толкателя (рис.6).
Рис.6 Определение минимального радиуса кулачка для механизма с качающимся толкателем.
Расстояние от точки 0 до точки К является минимальным радиусом кулачка, так как углы давления в любом положении механизма на превышает допустимых значений, а углы передачи 
не меньше допустимых .
При качающемся толкателе нельзя проводить касательные к кривой зависимости аналогов скоростей от хода толкателя, так как отрезки-аналоги не параллельны.
Можно выбрать любое положение центра вращения кулачка в заштрихованной зоне.
Таким образом, для решения задачи остается лишь получить аналоги скоростей и диаграмму перемещений толкателя. Для этого используется диаграмма аналогов ускорений, которая задается без указания масштаба, а указывается лишь характер кривой, от которого зависит работа кулачкового механизма. Если ускорение теоретически бесконечно, кривая скорости имеет разрыв, а кривая перемещений – излом, то в механизме возникают жесткие удары (рис.7). Если же график ускорений имеет конечный разрыв, на кривой скорости ему соответствует излом, а диаграмма перемещений – гладкая кривая, то механизм работает с мягкими ударами (рис.8). Кулачковый механизм безударный, если кривые скорости и перемещения не имеют разрывов и изломов, а диаграмма ускорений может иметь изломы (рис.9).
Положим, что диаграммы ускорений в фазах удаления и возвращения заданы в виде разных функций (рис.10). Эти функции произвольно задавать нельзя, так как требуется выполнять следующие условия.
Так как ход удаления 
равен ходу возвращения, 
то это требует равенства площадей диаграмм в фазах удаления и возвращения :
.
Рассуждая аналогично, придем к выводу, что должны быть равны площади:
и 
.
Чтобы вышеуказанные условия выполнялись, подберем соотношение ординат 
и 
таким образом, чтобы после двукратного интегрирования ход удаления 
равнялся бы ходу возвращения .
Обозначим максимальное значение аналога ускорений в фазе удаления 
, а в фазе возвращения .
Запишем аналитические выражения функций аналогов ускорений в обеих фазах:
; 
.
Определим функции аналогов скоростей:
,
.
Найдем функции перемещений:
,
.
Определим произвольные постоянные С1, С2, С3, С4 из начальных условий:
, 
; 
;
, 
.
Определим отношение 
и 
из условия, что перемещения равны ходу толкателя в конце каждой их фаз удаления и возвращения:
, 
, 
;
, 
, 
.
Приравнивая левые части уравнений, получим:
.
Зная соотношение ординат 
и 
, строят диаграммы аналогов ускорений. Графическим интегрированием получают диаграммы аналогов скоростей и перемещений. Затем вычисляют масштабы диаграмм.
4.1.Масштаб оси абсцисс:
(мм-1) , (3)
4.2.Масштаб диаграммы перемещений поступательного движущегося толкателя:
(м/мм) . (4)
4.3. Масштаб диаграммы угловых перемещений качающегося толкателя:
(мм-1) . (5)
4.4. Масштаб диаграммы аналогов линейной скорости толкателя:
(м/мм) . (6)
4.5.Масштаб аналогов угловой скорости качающегося толкателя:
(мм-1) . (7)
- коэффициенты, учитывающие изменение масштаба.
Рис 10. Графическое интегрирование диаграммы аналогов ускорений.
4.6.Масштаб аналогов ускорений толкателя:
(м/мм) . (8)
4.7. Масштаб аналогов углового ускорения качающегося толкателя:
(мм-1) . (9)
При определении минимального радиуса кулачка аналоги скоростей должны изображаться в масштабе перемещений толкателя. Это следует из определения аналога скорости( см. рис. 1 и 2), где его величина изображается в том же масштабе, в котором построен механизм. После интегрирования диаграммы аналогов ускорений диаграмма аналогов скоростей получается в масштабе 
или 
. Для приведения отрезков-аналогов скоростей к масштабу перемещений используются различные методы.
А. Перевод аналога скорости в масштаб перемещений осуществляется графическим методом с помощью наклонной прямой(рис.11). Угол наклона 
равен отношению масштабов:
. (10)
Здесь 
-отрезок, изображающий аналог скорости в масштабе, а 
- действительная величина аналога скорости.
Б. Диаграмму аналогов скоростей можно построить сразу в масштабе перемещений 
. Известно, что
. (11)
Если взять полюсное расстояние, которое используется при графическом интегрировании диаграммы аналогов скоростей, равным
, то 
. (12)
С. Каждую величину ординаты диаграммы аналогов скоростей умножают на величину К, равную отношению масштабов:
ПРИМЕР
Спроектировать профиль кулачка с поступательно движущемся и качающимся толкателем по следующим условиям:
Ход толкателя 
;
Длина качающегося толкателя 
;
Допустимый угол давления 
;
Фазовые углы: 
; 
; 
; 
; 
.
Дана диаграмма аналогов ускорений без указания масштаба (рис.10).
В результате аналитического интегрирования заданных функций аналогов ускорений ранее получено отношение между ординатами диаграмм в фазах удаления и возвращения 
и :
.
Подставим значения заданных углов 
, 
и получим соотношение между ординатами и :
.
Строим диаграмму аналогов ускорений толкателя с получением соотношением ординат и 
(рис.10). Графическим интегрированием получаем диаграммы аналогов скоростей и аналогов перемещений. Затем находим масштабы диаграмм.
5.1. Масштаб оси абсцисс:
.
5.2. Масштаб диаграммы перемещений толкателя:
.
5.3. Масштаб диаграммы угловых перемещений толкателя:
.
5.4. Масштаб диаграммы аналогов линейных скоростей толкателя:
.
5.5. Масштаб диаграммы аналогов угловых скоростей качающегося толкателя:
.
5.6.Масштаб диаграммы аналогов ускорений толкателя:
.
5.7.Масштаб аналогов угловых ускорений качающегося толкателя:
.
Аналоги скоростей приводят к масштабу перемещений умножением ординат диаграммы аналогов скоростей на отношение масштабных коэффициентов:
.
Значения аналогов скоростей приведены в таблице 1.
Таблица.1
Приведение аналогов скоростей к масштабу перемещений
| Положение механизма | Значения ординат диаграммы в фазе удаления, мм | Аналоги скоростей в масштабе перемещений, мм | Значения ординат диаграммы в фазе возвращения, мм | Аналоги скоростей в масштабе перемещений, мм |
| 4,5 14,5 18,0 19,0 18,0 14,5 10,0 4,5 | 2,87 12,9 28,7 41,6 51,7 54,5 51,7 41,6 28,7 12,9 2,87 | 17,0 26,0 29,5 26,0 17,0 | 48,8 74,6 84,7 74,6 48,8 |
6. Определение минимального радиуса кулачка для механизма с поступательно движущимся толкателем
Ход толкателя размечается согласно диаграмме перемещений. Из точек разметки откладываются отрезки-аналоги скоростей в масштабе перемещений согласно таблице 1 (рис.12).
Выбираем направление вращения кулачка против часовой стрелки. Поэтому отрезки-аналоги скоростей в фазе подъема откладываются слева от траектории движения толкателя, а в фазе возвращения – справа. Концы отрезков-аналогов соединяют плавной кривой и к полученной фигуре проводят касательные под допустимыми углами давления . Точка пересечения касательных является центром вращения кулачка, а отрезок 
минимальным радиусом кулачка в масштабе 
.
7. Определение минимального радиуса кулачка для механизма с качающимся толкателем.
Выбирается центр вращения толкателя –точка О 2 (рис.13). Радиусом, равным длине толкателя 
, проводят дугу, длина которой равна ходу толкателя Smax . Дуга разбивается на части согласно диаграмме перемещений. Через точки деления проводятся лучи из центра вращения толкателя(точки О2.).На лучах откладываются отрезки-аналоги скоростей в масштабе как показано на рис.13.Центр вращения кулачка определяется изложенным ранее способом. Отрезок – минимальный радиус кулачка в масштабе .
Построение профилей кулачков показано на рис. 14 и 15.Используется метод обращения движения (кулачек остановлен, толкатель занимает ряд последовательных положений, в направлении, обратном направлению вращения кулачка). Геометрическими построениями находятся точки профиля, соответствующие каждому положению толкателя. Соединяя эти точки плавной кривой, получаем сам профиль.
Если толкатель с роликом, то рабочим профилем будет эквидистантная кривая, отстоящая от теоретического профиля на величину радиуса кулачка, который выбирается в пределах 0,2-0,8 от минимального радиуса кривизны вогнутого участка профиля кулачка.
