Модели скользящего среднего

Модель скользящего среднего предполагает, что в ошибках модели в предшествующие периоды сосредоточена информация обо всей предыстории ряда. В этой модели каждое новое значение - среднее между текущей флуктуацией и несколькими (в частности, одной) предыдущими ошибками.

Модели скользящего среднего порядка q, обозначаемые CC(q), в англоязычной литературе MA(q) (Moving Average models), имеют вид:

у_t = e_t - q₁ e_t_-1- q₂ e_t_-2-…- q_q e_t_-_q , (3.14)

где e_t — “белый шум”.

Широко распространены в статистической практике модели скользящего среднего 1-го (q = 1) и второго порядка (q = 2):

МА(1): у_t = e_t - q e_t_-1 ; (3.15)

МА(2): у_t = e_t - q₁ e_t_-1- q₂ e_t_-2 . (3.16)

Рассмотрим модель скользящего среднего 1-го порядка — МА(1). Преобразуем (3.15), последовательно выражая e_t_-1, e_t_-2, e_t_-3 и т.д.:

e_t = у_t + q e_t_-1= у_t + q (y_t_-1 - q e_t_-2) = у_t + q y_t_-1

₊q ²(у_t_-2 + q e_t_-3) = y_t+q y_t_-1+ q ² у_t_-2+q ³(у_t_-3 + q e_t_-4) =

= y_t+q y_t_-1+ q ² у_t_-2+q ³ у_t_-3 + …

Это выражение можно переписать в виде:

у_t = e_t - .(3.17)

Таким образом, ряд у_t,сгенерированный моделью МА(1), может быть представлен также в виде модели авторегрессии бесконечного порядка. В моделях скользящего среднего МА(q) не требуется накладывать никаких ограничений на параметры q₁, q₂, ..., q_q для обеспечения стационарности ряда. Однако, если в модели МА(1) параметр q по абсолютной величине больше или равен 1, то текущее значение у_t в соответствии с (3.17) будет зависеть от своих прошлых значений у_t_-1, у_t_-2, ..., берущихся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое. Чтобы избежать этого, надо, чтобы веса в (6.21) образовывали сходящийся ряд, т.е. чтобы |q | < 1.

Отметим, что подобно тому, как ряд, генерированный моделью скользящего среднего первого порядка МА(1), может быть представлен в виде модели авторегрессии бесконечного порядка AR(¥), также существует представление AR(1) в виде МА(¥). При этом на параметры процесса AR(p) не накладываются никакие условия для того, чтобы этот процесс был обратимым. Но для стационарности процесса корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга. В то же время параметры процесса МА(q) не должны удовлетворять никаким условиям для стационарности, однако для обратимости корни его характеристического уравнения

1 - q₁z - q₂ z² - ... - q_q z^q = 0.= 0

должны лежать вне единичного круга.

Найдем выражение для АКФ процесса МА(q). Для этого представим y_t_-_k в виде соотношения (3.14):

y_t_-_k = e_t_-_k - q₁e_t_-_k_-1- q₂e_t_-_k_-2-…- q_qe_t_-_k_-_q. (3.18)

Перемножим соответственно левые и правые части уравнений (6.18) и (6.22), а затем возьмем математическое ожидание от получившегося выражения. При этом следует учесть, что элементы белого шума e_t₁ и e_t₂ не коррелируют при t₁ ¹ t₂.

Тогда выражение для ковариации М(y_t у_t_-_t) = g(t) примет вид:

(3.19)

АКФ получается путем деления (3.19) на дисперсию процесса g(0):

(3.20)

Таким образом, АКФ процесса МА(q) равна нулю для всех значений t, больших порядка q. Это важное характеристическое свойство модели.

На практике наиболее часто используют частный случай модели — модель скользящего среднего 1-го порядка МА(1):

у_t = e_t - q e_t_-1

где e_t — “белый шум”.

Как уже было показано ранее, для обратимости процесса необходимо выполнение условия |q | < 1.

Очевидно, что М(у_t) = 0; D(y_t) = .

АКФ согласно (3.20) определяется выражением

. (3.21)

ЧАКФ r_ч(t) задается выражением

(3.22)

Поведение ЧАКФ определяется затухающей экспонентой. Если значение r(1) положительно, то параметр < 0, следовательно, r_ч(t) осциллирует с переменным знаком. Если значение r(1) отрицательно, то параметр > 0, следовательно, все значения r_ч(t) отрицательны.

Отмеченные свойства моделей скользящих средних позволяют сформулировать следующие практические рекомендации по их идентификации.

Для моделей МА(1):

• автокорреляционная функция имеет выброс (пик) при лаге, равном 1, а остальные значения статистически незначимы;

• частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает (либо монотонно, либо осциллируя, т.е. меняя знак).

Для моделей МА(2):

• автокорреляционная функция имеет выбросы (пики) на лагах, равных 1 и 2, а остальные значения статистически незначимы;

• частная автокорреляционная функция имеет форму синусоиды или экспоненциально затухает.

3.4 Модели авторегрессии cо скользящими
средними в остатках

На практике для наглядности описания анализируемого экономического процесса в модель могут быть включены как члены, описывающие авторегрессионные составляющие, так и члены, моделирующие остаток в виде процесса скользящих средних. Такой процесс называется - АРСС (р, q) или, как принято в англоязычной литературе, AutoRegressive-Moving Average (ARMA (р, q)). Параметры р и q определяют соответственно порядок авторегрессионной составляющей и порядок скользящих средних.

Модель ARMA(p, q) имеет вид:

y_t=a₁ y_t_-1+ a₂ y_t_-2+_…+a_py_t_-_p₊e_p- q₁e_t_-1- q₂e_t_-2-…- q_qe_t_-_q . (3.23)

Такая модель может интерпретироваться как линейная множественная регрессия. В качестве объясняющих переменных в ней выступают предыдущие значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка - скользящие средние из элементов белого шума.

Чтобы процесс (3.23) был стационарным, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения AR(p)-npoцесса лежали вне единичного круга:

1 - a₁z - a₂ z² - ... - a_p z ^p = 0. (3.24)

Аналогично, для обратимости процесса (3.23) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения процесса МА(q) лежали вне единичного круга:

1 - a₁z - a₂ z² - ... - a_q z ^q = 0 (3.25)

Простейший смешанный процесс ARMA(1,1):

y_t=a₁ y_t_-1₊e_p - q₁e_t_-1 (3.26)

Это уравнение можно преобразовать к виду:

y_t+a₁ y_t_-1= e_p - q₁e_t_-1 (3.27)

Стационарность процесса ARMA(1,1) обеспечивается условием |a | < 1, а обратимость, в свою очередь, гарантируется выполнением условия |q | <1.

Автоковариационные функции процесса ARMA(1,1):

g(0) = , (3.28)

g(1) = . (3.29)

Значение автоковариационной функции для лага t больше 1 определяется следующим рекуррентным соотношением:

g(t) = ag(t-1) при t > 1. (3.30

Следовательно, значения АКФ будут иметь вид

r(1) = (3.31)

r(t) = a r(t-1) = a^t^-1 r(1) при t > 1. (3.32)

Из (3.31),(3.32) видно, что, хотя выражение для r(1) отличается от соответствующего выражения для процесса AR(1), соотношение между r(1) и последующими значениями АКФ такое же. Таким образом, для процесса ARMA(1,1) значения АКФ будут экспоненциально убывать от значения r(1), причем если a положительно, — то монотонно, если отрицательно, — то знакопеременно.

Поведение ЧАКФ определяется начальным значением r_ч(1), после которого функция экспоненциально убывает. Если q положительно, то функция убывает монотонно, если отрицательно, — то знакопеременно.

Исследования показывают, что при использовании в экономических задачах модели ARMA(p, q), потребностям практики, как правило, удовлетворяют следующие пять видов этой модели, представленных в таблице.

Свойства автокорреляционных (АКФ)

и частных автокорреляционных (ЧАКФ) функций

Функ- ция	ARMA(1,0)	ARMA(2,0)	ARMA(0,1)	ARMA(0,2)	ARMA(1,1)
АКФ	Экспоненциально затухает (монотон-но или знакопе-ременно)	Экспонен-циально затухает или имеет форму синусои-дальной волны	Выброс (пик) на лаге 1	Выбросы (пики) на лагах 1 и 2	Экспоненциально затухает от значения r(1) (монотонно или знако-переменно)
ЧАКФ	Выброс (пик) на лаге 1	Выбросы (пики) на лагах 1 и 2	Экспонен-циально затухает (монотон-но или знако-переменно)	Экспонен-циально затухает или имеет форму синусоидальной волны	Экспоненциально убывает от значения r_ч(1) (монотонно или знако-переменно)

В этой таблице указаны свойства АКФ и ЧАКФ для этих моделей. Очевидно, что модели ARMA(1,0) и ARMA(2,0) — это рассмотренные ранее модели AR(1), AR(2), а модели ARMA(0,1) и ARMA(0,2) соответствуют моделям скользящего среднего МА(1) и МА(2).