Методика изучения алгебраического материала

В «Обязательном минимуме содержания начального образования» по образовательной области «Математика» изучение алгебраического материала, как это было ранее, не выделено в качестве отдельной дидактической единицы подлежащей обязательному изучению. В данной части документа кратко отмечено, что необходимо «дать знания о числовых и буквенных выражениях, их значениях и различиях между этими выражениями». В «Требованиях к качеству подготовки выпускников» можно лишь найти короткую фразу неопределенного смысла «научить вычислять неизвестный компонент арифметического действия». Вопрос о том, как научить «вычислять неизвестный компонент» должен решать автор программы или технологии обучения.

Рассмотрим, как характеризуются понятия «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и какова методика их изучения в различных методическихсистемах обучения

7.1. Выражения и их виды в курсе математики

начальной школы

Выражением называют математическую запись, состоящую из чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных знаками арифметических действий. Отдельно взятое число есть также выражение. Выражение, в котором все числа обозначены цифрами, называют числовым выражением.

Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получим число, которое называют значением выражения.

Выражения можно классифицировать по числу арифметических действий, которые используются при записи выражений, и по способу обозначения чисел. По первому основанию выражения разбиваются на группы: элементарных (не содержащих знака арифметического действия), простых (один знак арифметического действия) и составных (более одного знака арифметических действий) выражений. По второму основанию различают числовые (числа записаны цифрами) и буквенные (хотя бы одно число или все числа обозначены буквами) выражения.

Математическую запись, которую в математике принято называть выражением, необходимо отличать от других видов записей.

Примером или вычислительным упражнением называют запись выражения вместе с требованием к его вычислению.

5+3 выражение, 8- его значение

5+3= вычислительное упражнение (пример),

8- результат вычислительного упражнения (примера)

В зависимости от знака арифметического действия, который используется в записи простого выражения, простые выражения разбивают на группы выражений со знаком «+,», «-», «•», «:». Эти выражения имеют особые названия (2 + 3 - сумма; 7 - 4 – разность; 7 × 2 – произведение; 6 : 3 - частное) и общепринятые способы чтения, с которыми знакомятся учащиеся начальной школы.

Способы чтения выражений со знаком «+»:

25+17 – 25 плюс 17

25+17 – к 25-ти прибавить 17

25+17 – 25 да 17

25+17 – 25 и еще 17.

25+17 – сумма чисел двадцать пять и семнадцать (сумма 25-ти и 17-ти)

25+17 – 25 увеличить на 17

25+17 – 1-ое слагаемое 25, 2-ое слагаемое 17

С записью простых выражений дети знакомятся по мере того, как вводится соответствующее математическое действие. Например, знакомство с действием сложения сопровождается записью выражения на сложение 2 + 1, здесь же даются образцы первых форм чтения этих выражений: «к двум прибавить один», «два и один», «два да один», «два плюс один». Другие формулировки вводятся по мере знакомства детей с соответствующими понятиями. Изучая название компонентов действий и их результатов, дети учатся читать выражение, используя эти названия (первое слагаемое 25, второе 17 или сумма 25-ти и 17-ти). Знакомство с понятиями «увеличить на…», «уменьшить на...» позволяет ввести новую формулировку для чтения выражений на сложение и вычитание с этими терминами «двадцать пять увеличить на семнадцать», «двадцать пять уменьшить на семнадцать». Так же поступают с остальными видами простых выражений.

С понятиями «выражение», «значение выражения» в ряде образовательных систем («Школа России» и «Гармония») дети знакомятся несколько позже, чем научатся их записывать, вычислять и читать не всеми, но многими формулировками. В других программах и системах обучения (система Л.В. Занкова, «Школа 2000…», «Школа 2100») эти математические записи сразу называют выражениями и используют это слово в вычислительных заданиях.

Обучая детей читать выражения различными формулировками, мы вводим их в мир математических терминов, даем возможность познать математический язык, отрабатываем смысл математических отношений, что, несомненно, повышает математическую культуру ученика, способствует осознанному усвоению многих математических понятий.

Приемы отработки умения правильно читать выражения и вычислительные упражнения разными формулировками.

Ø Прием «делай как я». Правильная речь учителя, за которым дети повторяют формулировки, - основа грамотной математической речи школьников. Значительный эффект дает использование приема сравнения формулировок, которые произносят дети, с заданным образцом. Полезно использовать прием, когда учитель специально допускает речевые ошибки, а дети его исправляют.

Ø Дать несколько выражений и предложить прочитать эти выражения разными способами. Один ученик читает выражение, а другие проверяют. Полезно давать столько выражений, сколько формулировок знают дети к этому времени.

Ø Учитель диктует выражения разными способами, а дети записывают сами выражения, не вычисляя их значения. Такие задания направлены на то, чтобы проверить знание детьми математической терминологии, а именно: умение записывать выражения или вычислительные упражнения, прочтенные разными математическими формулировками.

Если ставится задача, предусматривающая проверку сформированности вычислительного навыка полезно читать выражения или вычислительные упражнения только теми формулировками, которые хорошо усвоены, не заботясь об их разнообразии, а детям предложить записывать только результаты вычислений, сами выражения можно не записывать.

Выражение, состоящее из нескольких простых, называют составным.

Следовательно, существенным признаком составного выражения является его составленность из простых выражений. Знакомство с составным выражением можно осуществить по следующему плану:

1. Дать простое выражение и вычислить его значение

(7 + 2 = 9), назвать его первым или данным.

2. Составить второе выражение так, чтобы значение первого стало компонентом второго (9 - 3), назвать это выражение продолжением для первого. Вычислить значение второго выражения(9 – 3 = 6).

3. Проиллюстрировать процесс слияния первого и второго выражений, опираясь на пособие.

Пособие представляет собой прямоугольный лист бумаги, который разделен на 5 частей и сложен в виде гармошки. На каждой части пособия имеются определенные записи:

7 + 2

- 3

= 6

Скрывая вторую и третью части данного пособия (из первого выражения скрываем требование к его вычислению и его значение, а во втором скрываем ответ на вопрос первого), получаем составное выражение и его значение (7 + 2 -3 = 6). Даем ему название – составное (составлено из других).

Иллюстрируем процесс слияния других пар выражений или вычислительных упражнений, подчеркивая:

ü объединить в составное можно лишь такую пару выражений, когда значение одного из них является компонентом другого;

ü значение выражения продолжения совпадает со значением составного выражения.

Закрепляя понятие составного выражения полезно выполнять задания двух видов.

1 вид. Дана совокупность простых выражений, необходимо выделить из них пары, для которых верно отношение «значение одного из них является компонентом другого». Составить из каждой пары простых выражений одно составное выражение.

2 вид. Дано составное выражение. Необходимо записать простые выражения, из которых оно составлено.

Описанный прием полезно использовать по нескольким причинам:

§ по аналогии можно ввести понятие составной задачи;

§ ярче выделяется существенный признак составного выражения;

§ предупреждаются ошибки при вычислении значений составных выражений;

§ данный прием позволяет проиллюстрировать роль скобок в составных выражениях.

Составные выражения, содержащие знаки «+», «-» и скобки, изучаются с первого класса. В некоторых системах обучения («Школа России», «Гармония», «Школа 2000») не предусматривается изучение скобок в первом классе. Их вводят во втором классе при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство суммы). Скобки вводятся как знаки, с помощью которых в математике можно показать порядок выполнения действий в выражениях содержащих более одного действия. В дальнейшем дети знакомятся с составными выражениями, содержащими действия первой и второй ступеней со скобками и без них. Изучение составных выражений сопровождается изучением правил порядка действий в этих выражениях и способов чтения составных выражений.

Значительное внимание во всех программах уделяется преобразованию выражений, которые осуществляются на основании сочетательного свойства суммы и произведения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, умножения суммы на число и деления суммы на число. На наш взгляд, в отдельных программах, недостаточно упражнений направленных на формирование умения читать составные выражения, что, естественно, позже сказывается на умении решать уравнения вторым способом (см. ниже). В последних изданиях учебно-методических комплексов по математике для начальных классов по всем программам большое внимание уделяется заданиям на составление программ и алгоритмов вычислений для составных выражений в три - девять действий.

Выражения, в которых одно число или все числа обозначены буквами, называютбуквенными (а + 6; (а+в)×с – буквенные выражения). Пропедевтикой к введению буквенных выражений являются выражения, где одно из чисел заменяется точками или пустым квадратом. Называют эту запись выражением «с окошком» ( +4 – выражение с окошком).

Типичными заданиями, содержащими буквенные выражения, являются задания на нахождение значений выражений при условии, что буква принимает различные значения из заданного перечня значений. (Вычисли значения выражений а + в и а - в, если а = 42, в = 90 или а = 100, в = 230). Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляют в выражения и далее работают как с числовыми выражениями.

Буквенные выражения могут использоваться для введения обобщенных записей свойств арифметических действий, формируют представления о возможности переменных значений компонентов действий и позволяют подвести детей к центральному математическому понятию «переменная величина». Кроме того, с помощью буквенных выражений дети осознают свойства существования значений суммы, разности, произведения, частного на множестве целых неотрицательных чисел. Так, в выражении а + в при любых значениях переменных а и в можно вычислить значение суммы, а значение выражения а - в, на указанном множестве можно вычислить только в том случае, если в меньше или равно а. Анализируя задания, направленные на установление возможных ограничений для значений а и в в выражениях а • в и а : в, дети устанавливают свойства существования значения произведения и значения частного в адаптированном к возрасту виде.

Буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий. Обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом для формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием, что, несомненно, повышает возможности математики в развитии и формировании абстрактных форм мышления.

7.2. Изучение равенств и неравенств в курсе

математики начальных классов

Сравнение чисел и/или выражений приводит к появлению новых математических понятий «равенство» и «неравенство».

Равенством называют запись, содержащую два выражения соединенные знаком «=» - равно (3 = 1 + 2; 8 + 2 =7 + 3 - равенства).

Неравенством называют запись, содержащую два выражения и знак сравнения, указывающий на отношения «больше» или «меньше» между данными выражениями

(3 < 5; 2+4 > 2+3 - неравенства).

Равенства и неравенства бывают верными и неверными. Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным. Соответственно: если в записи неравенства знак сравнения правильно указывает на отношения между числами (элементарными выражениями) или значениями выражений, то неравенство верно, в противном случае, неравенство неверно.

Большинство заданий в математике связано с вычислением значений выражений. Если значение выражения найдено, то выражение и его значение можно соединить знаком «равно», что принято записывать в виде равенства: 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным.

С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение» в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2 + 1 = 3 и 4 – 1 = 3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее с этим понятием связано изучение практически каждой темы в курсе математики начальной школы.

Вопрос о введении понятий «верное» и «неверное» равенства в различных программах решается неоднозначно. В системе «Школа 2000…» это понятие вводят одновременно с записью равенства, в системе «Школа России» - при изучении темы «Состав однозначных чисел» в записях равенств «с окошком» ( +3 = 5; 3 + = 5). Подбирая число, которое можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел или другой вычислительный материал по теме урока, с другой, формируют представление о переменной величине и являются подготовкой к усвоению понятия «уравнение».

Во всех программах наиболее часто используются два вида заданий, связанных с понятиями равенства и неравенства, верные и неверные равенства и неравенства:

· Даны числа или выражения, нужно между ними поставить знак так, чтобы запись была верной. Например, «Поставь знаки: «<», «>», «=» 7-5 … 7-3; 6+4 … 6+3».

· Даны записи со знаком сравнения, надо подставить вместо окошка такие числа, чтобы получилось верное равенство или неравенство. Например, «Подбери числа так, чтобы записи были верными: > ; или +2 < +3».

Если сравниваются два числа, то выбор знака дети обосновывают, опираясь на принцип построения ряда натуральных чисел, значность числа или его состав. Сравнивая два числовых выражения или выражение с числом, дети вычисляют значения выражений, а затем сравнивают их значения, т. е. сводят сравнение выражений к сравнению чисел. В образовательной системе «Школа России» этот способ дается в виде правила: «Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения». Этот же набор действий дети выполняют для проверки правильности выполненного сравнения. «Проверь, верны ли неравенства:

42 + 6 > 47; 47 - 5 > 47 - 4».

Наибольший развивающий эффект имеют задания, требующие поставить знак сравнения (или проверить верно ли поставлен знак сравнения) не вычисляя значений выражений данных в левой и правой частях неравенства (равенства). В этом случае дети должны поставить знак сравнения, опираясь на выявленные математические закономерности.

Форма предъявления задания и способы оформления его выполнения варьируется как в рамках одной программы, так и в различных программах.

Традиционно при решении неравенств с переменной использовалось два способа: способ подбора и способ сведения к равенству.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности выбора. Для этого в заданное неравенство вместо неизвестного числа подставляется найденное значение. Вычисляется значение левой и правой части неравенства (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом), а затем, сравнивается значение левой и правой части полученного неравенства. Все эти действия могут выполняться устно или с записью промежуточных вычислений.

Второй способ заключается в том, что в записи неравенства вместо знака «<» или «>» ставят знак равенства и решают равенство известным детям способом. Затем, проводятся рассуждения, при которых используются знания детей об изменении результата действия в зависимости от изменения одного из его компонентов и определяются допустимые значения переменной.

Например, «Определи, какие значения может принимать а в неравенстве 12 - а < 7». Решение и образец рассуждений:

· Найдем значение а, если 12 – а = 7

· Вычисляю, применяя правило нахождения неизвестного вычитаемого: а = 12 - 7, а = 5.

· Уточняю ответ: при а равном 5-ти («корень уравнения равен 5-ти» в системе Занкова и «Школа 2000…») значение выражения 12 - 5 равно 7, а нам нужно найти такие значения этого выражения, которые бы были меньше 7-ми, значит надо из 12 вычитать числа большие пяти. Это могут быть числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.(чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньше значение разности). Значит, а = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значения большие 12-ти переменная а принимать не может, так как большее число из меньшего вычитать нельзя (мы не умеем, если не вводятся отрицательные числа).

Пример подобного задания из учебника 3 класса (1-4), авторы: И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская [14]:

№ 224. «Реши неравенства, используя решение соответствующих уравнений:

к - 37 < 29, 75 - с > 48, а + 44 < 91.

Проверь свои решения: подставь в каждое неравенство несколько чисел, больших и меньших корня соответствующего уравнения.

Составь свои неравенства с неизвестными числами, реши их и проверь найденные решения.

Предложи свое продолжение задания».

Надо отметить, что ряд технологий и программ обучения, усиливая логическую составляющую и значительно превышая стандартные требования к содержанию математического образования в начальных классах, вводят понятия:

Ø переменная величина, значение переменной;

Ø понятие «высказывание» (верные и неверные утверждения называют высказыванием (М3П) [48-51]), «истинные и ложные высказывания»;

Ø рассматривают системы уравнений (И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская).

7.3. Изучение уравнений в курсе математики

начальных классов

Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением. Решить уравнение - значит, найти такое значение переменной величины (неизвестного числа), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения.

В некоторых образовательных системах («Школа России» и «Гармония») введение понятия «переменной» не предусматривается. В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число. И далее, решить уравнение, значит, найти такое число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения.

В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают два способа решения уравнений.

1. В заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение.

2. Вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом).

3. Сравнивается значение левой и правой части полученного равенства.

4. Делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения.

На первых порах выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения.

Ряд систем обучения («Школа 2000», система обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова) для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым.

8 + х=10; 8 и х - части; 10 – целое. Чтобы найти часть можно из целого вычесть известную часть: х = 10 - 8; х = 2.

В этих системах обучения, еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней».

Второй способ решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так:

Задание: Реши уравнение 8 + х = 11.

В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое нужно из значения суммы вычесть первое слагаемое. Значит, надо из 11 вычесть 8. Записываю: х = 11 – 8. Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу х = 3.

Далее делается проверка по выше указанному алгоритму.

Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид:

8 + х = 11

х = 11 - 8

х = 3

8 + 3 = 11

11 = 11

Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В этом случае нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Рассмотрим следующее задание.

Реши уравнение (х + 2) : 3 = 8.

В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел х и 2. ( В соответствии с правилами порядка действий в выражении, действие деления выполняют последним).

Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: х + 2 = 8 × 3

Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: х + 2 = 24.

Далее получаем уравнение на нахождение неизвестного слагаемого и рассуждаем как в предыдущем примере.

Полная запись имеет вид: (х + 2 ) : 3 = 8

х + 2 = 8 × 3

х + 2 = 24

х = 24 - 2

х = 22

Проверка: (22 + 2 ) : 3 = 8

8 = 8

В образовательной системе «Школа 2000…» в связи с широким использованием алгоритмов и их видов дается алгоритм (блок – схема) решения таких уравнений [40] (см. схему 3).

Второй способ решения уравнений достаточно громоздкий, особенно для составных уравнений, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия применяется многократно. В связи с этим, многие авторы программ (системы «Школа России», «Гармония») совсем не включают в программу начальных классов знакомство с уравнениями сложной структуры либо вводят их в конце четвертого класса.

В данных системах в основном ограничиваются изучением уравнений следующих видов:

х + 2 = 6; 5 + х = 8 - уравнения на нахождение неизвестного слагаемого;

х – 2 = 6; 5 – х = 3 - уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого соответственно;

х × 5 = 20, 5 × х = 35 - уравнения на нахождение неизвестного множителя;

х : 3 = 8, 6 : х = 2 - уравнения на нахождение неизвестного делимого и делителя соответственно.

х × 3 = 45 - 21; х × (63 - 58) = 20; (58 - 40) : х = (2 × 3) - уравнения, где одно или два числа, входящих в уравнение, представлено числовым выражением. Способ решения этих уравнений сводится к вычислению значений этих выражений, после чего уравнение принимает вид одного из простых уравнений выше указанных видов.

Ряд программ обучения математике в начальных классах (образовательная система Л.В. Занкова и «Школа 2000…») практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию одной из частей уравнения на основе свойств математических действий. Например, в этих программах учащимся в третьем классе для решения предлагаются такие уравнения:

3× х - (20 + х) = 70 или 2 × х – 8 + 5 × х = 97.

В математике существует и третий способ решения уравнений, который опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному».

Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение равносильное данному.

Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения, равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них.

Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе обучения Л.В. Занкова и в старших классах.

В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий:

· на выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных;

· на сравнение уравнений и способов их решений;

· на составление уравнений по заданным числам;

· на изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше (меньше), чем первоначально найденное значение;

· на подбор известного числа в уравнении;

· на составление алгоритмов решения с опорой на блок-схемы решения уравнений или без них;

· составление уравнений по текстам задач.

Следует заметить, что в современных учебниках наблюдается тенденция к введению материала на понятийном уровне. Например, каждому из выше названных понятий дается развернутое определение, отражающее его существенные признаки. Однако не все встречающиеся определения отвечают требованиям принципа научности. Например, понятие «выражение» в одном из учебников математики для начальных классов трактуется так: «Математическая запись из арифметических действий, не содержащая знаков больше, меньше или равно называется выражением» (образовательная система «Школа 2000»). Заметим, что в данном случае определение составлено неверно, так как в нем описано то, чего в записи нет, но неизвестно, что там есть. Это довольно типичная неточность, которую допускают в определении.

Заметим, что определения понятиям даются не сразу, т.е. не при первичном знакомстве, а в отсроченном времени, после того как дети познакомились с соответствующей математической записью и научились ею оперировать. Определения даются чаще всего в неявном виде, описательно.

Для справки: В математике встречаются как явные, так и неявные определения понятий. Среди явных определений наиболее распространены определения через ближайший род и видовое отличие. (Уравнение – это равенство, содержащее переменную величину.). Неявные определения можно разделить на два вида: контекстуальные и остенсивные. В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации.

Например: 3 + х = 9. х - неизвестное число, которое надо найти.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения еще называют определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начальных классах понятия равенства и неравенства.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 - 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

неравенства равенства

7.4. Порядок выполнения действий в выражениях

Наши наблюдения и анализ ученических работ показывает, что изучение данной содержательной линии сопровождается следующими видами ошибок школьников:

· Не могут правильно применить правило порядка действий;

· Неверно отбирают числа для выполнения действия.

Например, в выражении 62 + 30 : (18 - 3) выполняют действия в следующем порядке:

62 + 30 = 92 или так: 18 – 3 = 15

18 - 3 = 15 30 : 15 = 2

30 : 15 = 2 62 + 30 = 92

92 + 2 = 94

Опираясь на данные о типичных ошибках, возникающих у школьников можно выделить два основных действия, которые следует формировать в процессе изучения данной содержательной линии:

1) действие по определению порядка выполнения арифметических действий в числовом выражении;

2) действие по отбору чисел для вычисления значений промежуточных математических действий.

В курсе математики начальных классов традиционно правила порядка действий формулируются в следующем виде.

Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Каждое из данных правил ориентировано на определенный вид выражений:

1) выражения без скобок, содержащие только действия одной ступени;

2) выражения без скобок, содержащие действия первой и второй ступени;

3) выражения со скобками, содержащие действия, как первой, так и второй ступени.

При такой логике введения правил и последовательности их изучения выше названные действия будут состоять из ниже перечисленных операций, овладение которыми и обеспечивает усвоение данного материала:

§ распознать структуру выражения и назвать, к какому типу оно относится;

§ соотнести данное выражение с правилом, которым надо руководствоваться при вычислении его значения;

§ установить порядок действий в соответствии с правилом;

§ правильно отобрать числа для выполнения очередного действия;

§ выполнить вычисления.

Данные правила вводятся в третьем классе как обобщение для определения порядка действий в выражениях различной структуры. Нужно заметить, что до знакомства с этими правилами дети уже встречались с выражениями со скобками. В первом и втором классах при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство сложения, распределительное свойство умножения и деления), умеют вычислять значения выражений, содержащих действия одной ступени, т.е. им знакомо правило № 1. Поскольку вводится три правила, отражающие порядок действий в выражениях трех видов, то необходимо, прежде всего, научить детей выделять различные выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориентировано каждое правило.

В образовательной системе «Гармония» основную роль в изучении этой темы играет система целесообразно подобранных упражнений, через выполнение которых дети усваивают общий способ определения порядка действий в выражениях разной структуры. Нужно заметить, что автор программы по математике в данной системе очень логично выстраивает методику введения правил порядка действий, последовательно предлагает детям упражнения для отработки операций, входящих в состав выше названных действий. Чаще всего встречаются задания:

ü на сравнение выражений и последующее выявление в них признаков сходства и различия (признак сходства отражает тип выражения, с точки зрения его ориентации на правило);

ü на классификацию выражений по заданному признаку;

ü на выбор выражений с заданными характеристиками;

ü на конструирование выражений по заданному правилу (условию);

ü на применение правила в различных моделях выражений (символической, схематической, графической);

ü на составление плана или блок-схемы порядка выполнения действий;

ü на постановку скобок в выражении при заданном его значении;

ü на определение порядка действий в выражении при вычисленном его значении.

В системах «Школа 2000…» и «Начальная школа ХХI века» предлагается несколько другой подход к изучению порядка действий в составных выражениях. При этом подходе основное внимание уделяется пониманию учащимися структуры выражения. Важнейшим учебным действием при этом является выделение в составном выражении нескольких частей (разбиение выражения на части). В процессе вычисления значений составных выражений учащиеся пользуются рабочими правилами:

1. Если выражение содержит скобки, то его разбивают на части так, чтобы одна часть с другой были соединены действиями первой ступени (знаками «плюс» и «минус»), не заключенными в скобки, находят значение каждой части, а затем действия первой ступени выполняют по порядку – слева направо.

2. Если в выражении нет действий первой ступени, не заключенных в скобки, но есть действия умножения и деления, не заключенные в скобки, то выражение разбивают на части, ориентируясь на эти знаки.

Эти правила позволяют производить вычисление значений выражений, содержащих большое число арифметических действий.

Рассмотрим пример.

3 · 40 - 20 · (60 - 55) + 81 : (36: 4)

Знаками плюс и минус, не заключенными в скобки, разобьем выражение на части: от начала до первого знака (минус), не заключенного в скобки, затем от этого знака до следующего (плюс) и от знака плюс до конца.

3 · 40 - 20 · (60 - 55) + 81 : (36: 4)

Получилось три части:

1 часть - 3 • 40

2 часть - 20 · (60 - 55)

и 3 часть 81 : (36 : 4).

Находим значение каждой части:

1) 3 · 40 = 120 2) 60 - 55 = 5 3) 36 : 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 · 5 = 100 81 : 9 = 9 20 + 9 = 29

Ответ: значение выражения 29.

Цель семинаров по данной содержательной линии

· реферировать и рецензировать статьи (пособия) дидактического, педагогического и психологического содержания;

· составлять картотеку к докладу, для изучения конкретной темы;

· выполнять логико-дидактический анализ школьных учебников, учебных комплектов, а также анализ реализации в учебниках определенной математической идеи, линии;

· подбирать задания для обучения понятиям, обоснованию математических утверждений, формированию правила или построению алгоритма.

Задания для самоподготовки

Тема занятия. Характеристика понятий «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и методика их изучения в различных методических