Геометрическая интерпретация теоремы Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и во всех точках, расположенных ближе к центру степенного ряда , чем . Если же ряд расходится при , то он расходится и во всех более удаленных от центра ряда точках.

Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , ряд сходится абсолютно и расходится при всех , для которых .

Число называется радиусом сходимости ряда , а интервал – интервалом сходимости.

В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае ) или может превращаться в точку (в этом случае ). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.

Если для степенного ряда существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле

Рассмотрим способы определения области сходимости степенного ряда на примерах.

Пример 20. Найти интервал сходимости степенного ряда .