Определение математических зависимостей между параметрами по результатам экспериментальных исследований

Планирование экспериментов

В широком смысле слова планирование экспериментов включает в себя определение числа опытов, затрат груда, времени и средств. Естественно, что основной здесь является определение числа необходимых опытов. В этом случае исследователю чаще всего приходится решать две главные задачи:

– установить число опытов по определению какой-либо физической ве­личины с заданной точностью;

– определить погребное число опытов по отысканию функциональной за­висимости между интересующей величиной и системой факторов, параметров.

Исходят из того, что погрешность при измерениях какой-либо физической величины подчиняются нормальному закону распределения. Такое положение имеет место в большинстве случаев. Рассмотрим реше­ние обеих перечисленных задач.

Различают величины постоянные (диаметр вала в заданном сечении, его масса и т.д.) и изменяющиеся, случайные (объемная масса грунта, его влажность и т.д.). Для определения постоянных величин достаточно разовых измерений. Точность измерений оценивается абсолютной и относительной погрешностями:

где – значение данной величины, полученное более точным прибором; – значение величины, полученное прибором, используемым при данных измерениях.

Точность приборов характеризуется предельной погрешностью, от­несенной в процентах к верхнему, наибольшему пределу измерений (класс прибора).

При измерениях изменяющихся величин и использовании одного и того же прибора нужны многократные измерения. Пусть необходимо найти значение величины ; ее измеряют прибором с погрешностью . Имеем следующие значения этой величины: , ,… ; Результат изме­рений определяют как средневзвешенную арифметическую величину:

,

где – число измерений.

Точность результата характеризует среднеквадратичное отклонение

,

где – величина –го измерения.

На основании измерений имеем

,

где – абсолютная ошибка, определяемая среднеквадратичным отклоне­нием и заданной надежностью (вероятностью) результата.

Для подавляющего большинства технических измерений наибольшей средней арифметической погрешностью является абсолютная погрешность

.

Это означает, что с надежностью 0,997 истинное значение измеренной величины находится в пределах

.

Данным правилом можно пользоваться и при исключении грубых ошибок при измерениях, отбрасывая результаты, для которых . Разумеется, точность и надежность результата многократных измерений тем выше,чембольше число измерений и выше точность применяемых приборов. Однако это увеличивает трудоемкость постановки опытов. При заданных точности и надежности результатов измерений число опытов определяют итерационным методом по формуле

, (1)

 

где – норма, определяющая гарантированную вероятность отклонения средней малой выборки от средней генеральной совокупности.

При этом, задаются числом опытов , на основе измерений определяют и далее сравнивают число со значением , полученным по формуле (1). Процесс заканчивается при выполнении условия > . Ориентировочно число опытов можно выбрать по табл. 1.

Таблица 1

Необходимое количество опытов

Погрешность	Надежность
0,9	0,95	0,99	0,999
3
1
2
0,5
0,3
0,1

 

Для исследований, связанных с конструкциями машины, достаточна надежность 0,9; при детальных исследованиях, являющихся основой для последующего расчета, необходима надежность 0,95 и 0,99.

 

Определение математических зависимостей между параметрами по результатам экспериментальных исследований

В ряде случаев приходятся определять значение

по результатам измерений других величин (косвенные измерения). Определяя погрешность величины , здесь пользуются следующими правилами. Если функция представляет собой сумму слагаемых, то относительная погрешность принимается равной среднеарифметической погрешности слагаемых. Относительная погрешность произведения либо частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей, числителя и знаменателя. Относительная погрешность степени равна ошибке основания, умноженной на показатель степени и деленной на основание. Относитель­ная погрешность косинуса и синуса равна произведению значений тангенса и котангенса на предельную абсолютную погрешность угла в радианах. Относительная погрешность тангенса и котангенса равна частному от деления двойной абсолютной погрешности угла на синус двойного угла.

Рассмотрим методы поиска функциональных зависимостей. Пусть требуется экспериментальный путем установить вид функции

.

Следует помнить, что для решения этой задачи требуемое число опытов находится в степенной зависимости от числа аргументов . Поэтому необходимо попытаться сократить число переменных в искомой функции, выделив наиболее значимые, используя методы теории подобия и размерностей.

Предположим, что задача свелась к установлению вида функции от одной переменной. Теперь следует решить вопрос о пределах изменения аргумента (фактора). Это определяется конкретными условиями задачи. Следует иметь в виду, что узкая область изменения фактора обеспечивает получение более точкой математической зависимости, однако утрачивается общность полученных результатов. Далее необходимо определить число опытов и шаг изменения фактора. Практика показывает, что в большинстве случаев достаточна постановка опытов при пяти значениях фактора, выбранных в заданной интервале с равным шагом. Число опытов для каждого значения фактора определяют так же, как и при измерениях случайной величины. Располагая результатами эксперимента, точки наносят на график и проводят плавную кривую, которая по возможности должна проходить через все средние точки. Могут иметься изгибы и перегибы кривой; в таких областях необходима постановка не менее трех дополнительных экспериментов. Имея экспериментальную кривую, приступают к подбору соответствующей математической зависимости – эмпирической формулы.

Точный и общий метод определения параметров искомой функции – способ наименьших квадратов. В общем случае его применяют для поиска функций в виде степенного многочлена

.

Коэффициенты могут быть найдены по результатам активного или пассивного эксперимента.

Широкое распространение при проведении экспериментальных исследований получили планы многофакторных экспериментов, позволяющие изменять одновременно уровень нескольких факторов согласно плану эксперимента.

В данном случае число опытов сокращается до минимума, однако на изменение факторов в ходе эксперимента накладываются определенные ограничения. Известны ортогональные, рототабельные и другие планы экспериментов. При выполнении научно-исследовательской работы наиболее удобны ортогональные планы. В этом случае, используя соотношения

зависимость от натуральных значений факторов преобразуют в зависимость от факторов в кодированной (безразмерной) форме:

где – значение -го фактора соответственно текущее, максимальное и минимальное; – плечо изменения факторов в кодированной форме (область изменения факторов определяется пределами ; – число однократных опытов, заданных планом, общее число опытов , где – повторность опытов, принимается равной 2 или3; –коэффициент; – число факторов.

Для определения коэффициентов регрессии необходимо реализовать план эксперимента, приведенный в табл. 2 (ортогональный план двухфакторного эксперимента приведен в табл. 3), где факторвведен условно, значение его во всех строчках плана равно +1.

Таблица 2

Ортогональный план эксперимента

 

Номер опыта
	+1	+1	+1	1-	1-	+1	…	+1
	+1	+1	–1	1-	1-	–1	…	–1
	+1						…
	+1						…
	+1

Таблица 3

Ортогональный план двухфакторного эксперимента

Номер опыта
	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	–1 +1 –1 +1 –1 –1	–1 –1 +1 +1 –1 +1	1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3	1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 1/3 1/3 –2/3	+1 –1 –1 +1

 

В первых строчках плана от до факторы , составляют различные комбинации значений +1 и –1. В строчках плана каждый фактор последовательно принимает значения и , при этом все остальные факторы равны нулю. Последовательность постановкиопытовможет быть случайной.

 

Искомые коэффициенты регрессии определяются соотношением

где – кодированные значения фактора для столбца, в плане эксперимента, соответствующего искомому коэффициенту; – среднее арифмети­ческое значение искомой величины, полученное по результатам измерений величин

Далее вычисляют коэффициент ( – значение коэффициента при квадратичных факторах) и переписывают уравнение регрессии в виде

Ошибка опыта (дисперсия воспроизводимости)

Дисперсия коэффициентов

Исходя из этого, определяют значимость коэффициентов,которые должны быть больше действительного интервалаих изменения:

где величина принимается по таблице в зависимости от числа степе­ней свободы дисперсии воспроизводимости

Далее проверяют адекватность искомой функции результатам эксперимента.

Дисперсия адекватности

где – расчетное значение величины, определяемое по полученной за­висимости, – число искомых коэффициентов.

Число степеней свободы дисперсии адекватности

Адекватность проверяют по критерию Фишера

. (2)

Далее, используя соотношения, переходят от найденного урав­нения регрессии в кодированной форме к искомой зависимости в натуральных переменных. Если условие (2) не выполняется, следует перейти к полиному более высокой степени либо сузить пределы изменения факторов. Иногда достаточно найти зависимость в виде линейного полинома. Здесь ограничиваются постановкой опытов, определяемых строчками плана . Дальнейшая обработка данных остается такой же.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каким образом оценивается точность измерений?

2. Как определяется результат измерения и его точность?

3. Каким образом определяется необходимое число опытов?

4. Каким образом определяется функциональная зависимость по результатам опытов?

5. Методика построения ортогонального плана эксперимента.

6. Методика определения коэффициентов регрессии и их значимости.

7. Методика проверки адекватности искомой функции результатам эксперимента.