Изучение волновых свойств микрочастиц. Дифракция электронов.

Виртуальная лабораторная работа №4

В 1923 году произошло примечательное событие, которое в значительной степени ускорило развитие квантовой физики. Французский физик Л. де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.

Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона:

Гипотеза де Бройля постулировала эти соотношения для всех микрочастиц, в том числе и для таких, которые обладают массой m. Любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны λ = h / p. Для частиц, имеющих массу,

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году американскими физиками К. Девиссоном и Л. Джермером. Они обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает отчетливую дифракционную картину, подобную той, которая возникает при рассеянии на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. В этих экспериментах кристалл играл роль естественной дифракционной решетки. По положению дифракционных максимумов была определена длина волны электронного пучка, которая оказалась в полном соответствии с вычесленной по формуле де Бройля.

В следующем 1928 году английский физик Г. Томсон (сын Дж. Томсона, открывшего за 30 лет до этого электрон) получил новое подтверждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах (рис. 5.4.1) Г. Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическую фольгу из золота.

K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга из золота

На установленной за фольгой фотопластинке отчетливо наблюдались концентрические светлые и темные кольца, радиусы которых изменялись с изменением скорости электронов (т. е. длины волны) согласно

Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b). В случае (b) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку

При ускорении электрона в электрическом поле разностью потенциалов , не превышающий 104В приобретаемая кинетическая энергия равна eU

Длина волны де Бройля для электрона, ускоренного разностью потенциалов U = 100 В, может быть найдена по формуле

Наиболее отчетливо дифракционные явления проявляются в тех случаях, когда размеры препятствия, на котором происходит дифракция волн, соизмеримы с длиной волны. Это относится к волнам любой физической природы и, в частности, к электронным волнам. Для волн де Бройля естественной дифракционной решеткой является упорядоченная структура кристалла с пространственным периодом порядка размеров атома (приблизительно 0,1 нм). Препятствие таких размеров (например, отверстие в непрозрачном экране) невозможно создать искусственно, но для уяснения природы волн де Бройля можно ставить мысленные эксперименты.

Рассмотрим, например, дифракцию электронов на одиночной щели ширины D

Дифракция электронов на щели. График справа – распределение электронов на фотопластинке

 

Наиболее ярко волновые свойства проявляются у микрообъектов (элементарных частиц). Вследствие малой массы длина волны де Бройля оказывается сравнимой с межатомным расстоянием в кристаллах. В этих условиях при взаимодействии пучка частиц с кристаллической решеткой возникают дифракционные явления. Электронам с энергией 150 эВ соответствует длина волны 10-10 м. Такого же порядка межатомные расстояния в кристаллах. Если пучок таких электронов направить на кристалл, то они будут рассеиваться по законам дифракции. Зафиксированная на фотопленке дифракционная картина (электронограмма) содержит информацию о строении трехмерной кристаллической решетки.

Моделью рассеяния электронов на кристаллах может служить мысленный эксперимент по дифракции электронов на одномерной решетке. С волновой точки зрения этот эксперимент полностью эквивалентен оптическому опыту с дифракционной решеткой. Положения главных дифракционных максимумов определяются формулой решетки

d sin θm = mλ.,

где d - период решетки, - θm угол дифракции, - целое число (порядок дифракционного максимума), λ- длина волны де Бройля.

При малых углах дифракции

θm = mλ/d

Если на некотором расстоянии от решетки поместить фотопластинку, то на ней будет зафиксирована дифракционная картина в виде узких дифракционных полос, положения которых определяются соотношением (при малых углах дифракции)

Xm = L θm

Более 85 % всех электронов, прошедших через щель, попадут в центральный дифракционный максимум. Угловая полуширина θ1 этого максимума находится из условия

D sin θ1 = λ.

Это формула волновой теории.

С корпускулярной точки зрения можно считать, что при пролете через щель электрон приобретает дополнительный импульс в перпендикулярном направлении. Пренебрегая 15 % электронов, которые попадают на фотопластинку за пределами центрального максимума, можно считать, что максимальное значение py поперечного импульса равно

где p – модуль полного импульса электрона, равный, согласно де Бройлю, h / λ. Величина p при прохождении электрона через щель не меняется, т. к. остается неизменной длина волны λ. Из этих соотношений следует

Квантовая механика вкладывает в это простое на вид соотношение, являющееся следствием волновых свойств микрочастицы, чрезвычайно глубокий смысл. Прохождение электронов через щель является экспериментом, в котором y – координата электрона – определяется с точностью Δy = D. Величину Δy называют неопределенностью измерения координаты. В то же время точность определения y – составляющей импульса электрона в момент прохождения через щель – равна py или даже больше, если учесть побочные максимумы дифракционной картины. Эту величину называют неопределенностью проекции импульса и обозначают Δpy. Таким образом, величины Δy и Δpy связаны соотношением

Δy · Δpy ≥ h,

которое называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Величины Δy и Δpy нужно понимать в том смысле, что микрочастицы в принципе не имеют одновременно точного значения координаты и соответствующей проекции импульса. Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством применяемых приборов для одновременного измерения координаты и импульса микрочастицы. Оно является проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов. Соотношение неопределенностей позволяет оценить, в какой мере можно применять к микрочастицам понятия классической механики. Оно показывает, в частности, что к микрообъектам неприменимо классическое понятие траектории, так как движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Принципиально невозможно указать траекторию, по которой в рассмотренном мысленном эксперименте двигался какой-то конкретный электрон после прохождения щели до фотопластинки.

Однако, при определенных условиях соотношение неопределенностей не противоречит классическому описанию движения тел, в том числе и микрочастиц. Например, электронный пучок в кинескопе телевизора при вылете из электронной пушки имеет диаметр D порядка 10–3 см. В современном телевизоре ускоряющее напряжение U ≈ 15 кВ. Легко подсчитать импульс электрона:

Этот импульс направлен вдоль оси трубки. Из соотношения неопределенностей следует, что электронам при формировании пучка сообщается неконтролируемый импульс Δp, перпендикулярный оси пучка: Δp ≈ h / D ≈ 6,6·10–29 кг·м/с.

Пусть до экрана кинескопа электроны пролетают расстояние L ≈ 0,5 м. Тогда размытие Δl пятна на экране, обусловленное волновыми свойствами электрона, составит

Поскольку Δl << D, движение электронов в кинескопе телевизора можно рассматривать с помощью законов классической механики.