Теоретические упражнения
Теоретические вопросы
1. Понятие производной, её геометрический и механический
смысл.
2. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
3. Понятие дифференцируемости функции.
4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
5. Понятие дифференциала, его геометрический смысл.
6. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
7. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
8. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного функций.
9. Теорема о производной обратной функции.
10. Правило дифференцирования сложной функции.
11. Производные основных элементарных функций.
12. Дифференцирование функций, заданных неявно.
13. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
14. Логарифмическое дифференцирование.
15. Графическое дифференцирование.
16. Производные и дифференциалы высших порядков.
17. Механический смысл производной второго порядка.
18. Теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши).
19. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей).
20. Условия возрастания и убывания функции.
21. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума диф-
ференцируемой функции. Достаточные условия экстремума.
22. Направление выпуклости графика функции.
23. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точ-
ки перегиба. Достаточное условие существования точек пере-
гиба.
24. Асимптоты графика функции.
25. Общая схема исследования функции при помощи производ-
ных и построения её графика.
26. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной
на замкнутом промежутке.
Теоретические упражнения
1. Пользуясь определением производной, найти производные функций
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
в) для функции 
найти 
.
2. Доказать, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная.
3. Доказать, что производная периодической функции есть функция периодическая.
4. Доказать, что 
не имеет производной в точке 
:
а) 
; б) 
; в) 
.
5. Вычислить 
: а) 
; б) 
.
6. Показать на примере, что произведение функций и 
может быть дифференцируемым в точке 
, если:
а) и – не дифференцируемы в точке ;
б) одна из них дифференцируема в точке , а вторая – нет.
7. Построить график функции 
так, чтобы:
а) 
и 
; б) и 
;
в) и 
.
8. Изобразить геометрически приращение и дифференциал функции в точке:
а) 
в точке 
; б) 
в точке ;
в) 
в точке ; г) в точке .
9. Какая из функций: 
, и 
имеет наибольшую скорость изменения в точке ?
10. Доказать, что если в точке 
первая производная функции равна нулю 
, а вторая производная в точке существует и отлична от нуля 
, то при 
в точке функция имеет максимум и минимум – при 
.
Вариант №1
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти 
и 
функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти скорость движения точки в момент времени 
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Из круглого бревна диаметром 
требуется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы она, находясь в горизонтальном положении, оказала наибольшее сопротивление
на изгиб.
Указание. При решении задачи учесть, что сопротивление изгибу прямо пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты.
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 2
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти скорость движения точки в конце 
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 3
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3 . 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти величину скорости и ускорения в момент времени 
6.Найти приближенное значение функции при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8. Чтобы огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора, имеется кусок проволоки длиной 20 м. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь круга была наименьшей?
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 4
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти скорость движения точки в момент времени 
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью 
. Материал имеет толщину d . Каковы должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы
расход материала был наименьшим?
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 5
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти величину скорости и ускорения в момент времени 
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Банка данного объема 
имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высота 
и диаметр 
), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести?
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант №6
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти величину скорости и ускорения в момент времени 
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле боковых стенок площадь поперечного сечения будет наибольшей?
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 7
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Найти ускорение точки в момент времени 
,если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением 
.
6.Найти приближенное значение функции при 
.
7.Провести полное исследование функций и построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Из имеющихся досок можно построить забор длиною 200 м. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны двора стены коровника.
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 8
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
5.Найти ускорение точки в момент времени 
,если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением
.
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций и построить их графики:
1. 
2. 
8. Сечение погреба для хранения картофеля, закрепленное штанговой крепью, имеет прямоугольную форму. Площадь поперечного сечения погреба 
м2. Определить наименьший периметр крепежной рамы.
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 9
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. В какой момент времени скорость точки будет равна нулю?
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций и построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Над центром круглой площадки в теплице для выращивания томатов на блоке висит лампа. На какой высоте следует поместить эту лампу, чтобы на краях площадки получить наибольшую освещенность? Радиус площадки равен 
(рис. 2).
Рис. 2
При решении задачи учесть, что в физике сила света 
в точке A выражается формулой 
, где 
- коэффициент пропорциональности.
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 10
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке .
5.Точка движется прямолинейно по закону 
. В какой момент времени скорость точки будет равна нулю?
6.Найти приближенное значение функции при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Для искусственного орошения земли устраивают запасные резервуары для хранения воды, имеющие форму цилиндра без верхней крышки. При каких размерах резервуара данной вместимости = 500 м3 на его изготовление пойдет наименьшее количество железобетона?
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 11
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
5.При торможении маховик за 
с поворачивается на угол
. Найти угловую скорость вращения и угловое ускорение маховика в момент времени
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально нулю, равномерно возрастает; одновременно в цепь вводится сопротивление, пропорциональное квадрату времени с коэффициентом пропорциональности 1 Ом/мин. Первоначальное сопротивление цепи 4 Ом. В какой момент времени ток в цепи наибольший?
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 12
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке, соответствующей 
.
5.Тело вращается вокруг оси по закону 
. Найти угловую скорость и угловое ускорение в момент времени
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Дан прямоугольный лист жести размерами 150 
100 см (рис. 3). Требуется вырезать около всех его углов одинаковые квадратики так, чтобы после загибания остающихся кромок получилась открытая сверху емкость для зерна наибольшей вместимости.
Рис. 3
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 13
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке, соответствующей 
.
5.Закон изменения температуры Т тела в зависимости от вре-мени задан уравнением
.С какой скоростью нагревается это тело в момент времени 
?
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.Для перевозки горюче-смазочных материалов применяются цистерны. Кузов цистерны представляет собой металлический котел цилиндрической формы. Каковы должны быть размеры цистерны, чтобы при данной ее вместимости 120 м3 на ее изготовление пошло минимум материала? (Толщину стенок не учитывать).
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 14
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке, соответствующей .
5.Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону
.С какой скоростью нагревается тело в момент 
?
6.Найти приближенное значение функции при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8.При несоблюдении правил транспортировки рулонов типографской бумаги на их поверхности появляются трещины, в результате образуется так называемый срыв, идущий в отходы. Очевидно, что этих отходов тем меньше, чем меньше полная поверхность рулона при данном объеме. Определить, при каком соотношении между диаметром и высотой (образующей) рулона срыв бумаги (при данной глубине трещин и при данном объеме рулона) будет наименьшим.
Указание. Задача сводится к нахождению такого соотношения между радиусом 
основания и высотой (образующей) 
цилиндра, при котором при данном объеме 
цилиндра его полная поверхность 
имеет наименьшее значение.
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 15
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций:
1. 
2. 
в точке .
4.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке 
.
5.Тело, масса которого 
, движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела 
через 
после начала движения 
6.Найти приближенное значение функции 
при 
.
7.Провести полное исследование функций, построить их графики:
1. 
2. 
.
8. Из металлической отливки в форме шара радиусом R требуется выточить цилиндр так, чтобы отходы металла были наименьшими (т.е. цилиндр наибольшего объема). Каковы должны быть размеры h и r цилиндра? Какая часть объема (или массы заготовки) неминуемо уйдут в отходы?
 |
Рис. 4
9. По графику функции построить эскизы графиков первой и второй производных.
Вариант № 16
1. Найти производные функций:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
2. Найти производные функций, используя логарифмическое дифференцирование:
1. 
2. 
3.Найти и функций: