Элементы физики свободного гироскопа.

Неизменность положения оси гироскопа в пространстве объясняется исходя из уравнения моментов, применимого к описанию вращательного движения твердого тела, закрепленного в точке:

dL/dt = M.

На гироскоп действуют сила тяжести и силы реакции со стороны подшипников. Результирующий момент сил реакции подшипников M₁ и M₂, в которых закреплена ось гироскопа, равен нулю, поскольку подшипники располагаются симметрично относительно СО, связанной с центром масс, а вектора сил F₁ и F₂, созданных этими силами, равны. Можно показать, что равен нулю и момент однородного поля силы тяжести M_т, в котором находится гироскоп относительно его центра масс. Действительно,

M_т = S[r_i, m_i·g] = S[m_i·r_i, g] = [m·r_c, g] = 0,

 

где r_c - радиус-вектор центра масс гироскопа;
r_i и m_i - радиус-вектор и масса i-й части гироскопа.

Итак, мы доказали, что результирующий момент внешних сил равен нулю. Следовательно, в отсутствие сил трения в соответствии с уравнением момент импульса гироскопа остается постоянным. Момент импульса величина векторная, и его направление для симметричных тел совпадает с направлением вектора угловой скорости L= I·ω. Таким образом, в отсутствие моментов внешних сил ось гироскопа сохраняет свое положение относительно ИСО.

При ударных воздействиях на одну из оправ гироскопа момент, создаваемый конечной по величине внешней силой, вызывает пренебрежительно малое изменение величины момента импульса DL = M·Dt ( DL/L << 1). Следовательно, направление оси гироскопа, совпадающее с вектором L при быстром вращении, за время удара не успевает измениться.

Рассмотрим движение гироскопа под действием постоянно действующего момента внешней силы. Пусть начальный момент импульса гироскопа L₀ направлен вдоль оси X. Пусть к оси (соответствующему кольцу "карданова подвеса") приложена сила F, направлен вдоль вертикальной оси Z. Момент этой силы, равный векторному произведению [r, F], сориентирован вдоль горизонтальной оси Y. В данном направлении согласно основному закону динамики вращательного движения сориентирован также и вектор элементарного приращения момента импульса dL. Таким образом, по истечении времени dt момент импульса L изменит свое направление в пространстве, повернувшись на некоторый угол da вокруг оси Z:

L = L₀ + dL.

Покажем, что ось гироскопа при быстром его вращении повернется вокруг оси Z на такой же угол. Действительно, диск гироскопа участвует в двух движениях: быстром вращении вокруг своей оси и медленном, связанном с поворотом этой оси. Таким образом, ось симметрии гироскопа не совпадает по направлению с мгновенной осью вращения и,следовательно направлением вектора момента импульса. Однако при большой скорости вращения гироскопа (малом отношении dL/L) этим различием можно пренебречь и считать, что вектор момента импульса сориентирован вдоль оси симметрии гироскопа и движется вместе с ней.