Криволинейный интеграл первого рода

Пусть функция определена и непрерывна на некоторой кривой AB в плоскости .

Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками

выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку (рис. 7.1) и составим сумму

где – длина дуги . Данная сумма называется интегральной суммой для функции по кривой AB. Обозначим через наибольшую из длин частичных дуг :

Рис. 7.1. Разбиение кривой AB на частичные дуги в случае

криволинейного интеграла первого рода

Определение. Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой AB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой AB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Определение. Кривая, заданная параметрически уравнениями

называется гладкой, если функции и непрерывны и имеют непрерывные производные и , не обращающиеся в нуль одновременно (тем самым кривая в каждой точке имеет касательную).

Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.

Кривая, заданная явно уравнением , будет гладкой, если функция и ее производная непрерывны на отрезке .

Теорема 7.1 (существования криволинейного интеграла первого рода) (без доказательства). Функция , непрерывная вдоль кусочно-гладкой кривой AB, интегрируема по этой кривой.

Замечание. Если положить всюду на кривой AB, то из определения криволинейного интеграла первого рода легко получить формулу для вычисления длины дуги l кривой AB с помощью криволинейного интеграла первого рода:

или

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Свойство 3. Если кривую AB разбить на две кривые AC и CB, то интеграл по всей кривой AB будет равен сумме интегралов по кривым AC и CB:

Свойство 4 (Теорема о среднем).Если функция непрерывна вдоль гладкой кривой AB, то на этой кривой существует такая точка , что справедлива формула

где l – длина кривой AB.

Свойство 5. При изменении направления интегрирования величина интеграла не изменяется:

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла следующими способами.

Если кривая AB задана параметрически уравнениями , то

Если кривая AB задана явно уравнением , то

Замечание. Для пространственной кривой AB, заданной параметрически уравнениями , формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода имеет вид

аналогичный соответствующей формуле для плоской кривой.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

где AB – отрезок прямой от точки до точки .

Имеем

По формуле вычисления криволинейного интеграла первого рода получаем