Двойной интеграл
Пусть функция 
определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области G плоскости Oxy.
Разобьем область G произвольным образом на n частей 
с площадями 
(рис. 6.1).
Рис. 6.1. Разбиение области G на частичные области
В каждой частичной области выберем произвольную точку 
и составим сумму
,
которую назовем интегральной суммой для функции 
в области G.
Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Обозначим через 
наибольший из диаметров частичных областей :
.
Определение. Двойным интегралом от функции по области 
называется предел интегральных сумм при 
, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области G на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки 
:
или в другой записи:
.
Функция 
называется интегрируемой в области G, область G – областью интегрирования, x и y – переменными интегрирования, 
– элементом площади.
Теорема 6.1 (существования двойного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области , интегрируема в этой области.
Из определения двойного интеграла и рис. 6.2 следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл
численно равен объему криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции 
, которая определена в области G, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу – областью G, лежащей в плоскости Oxy.
Рис. 6.2. Геометрический смысл двойного интеграла
Замечание. Если положить 
всюду в области G, то из определения двойного интеграла легко получить формулу для вычисления площади S области G с помощью двойного интеграла
или
.
Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому сформулируем эти свойства без доказательства.
Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
Свойство 3. Если область интегрирования G разбить на две непересекающиеся области G1 и G2, то интеграл по всей области G будет равен сумме интегралов по областям G1 и G2:
.
Свойство 4 (Теорема о среднем).Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, то в этой области существует такая точка 
, что справедлива формула
,
где S – площадь области G.