Симплексный метод

Некоторым недостатком метода Бокса-Уилсона является выполнение «лишних» опытов, так как по матрице планирования выполняется для факторов вдвое большее число опытов, чем рассчитывается коэффициентов уравнения регрессии. Этот недостаток устраняется в симплексных планах, в которых число опытов равно +1. В симплексных планах опыты выполняются в точках, равноудаленных друг от друга (рис. 5. 12).

Рис. 5.12. Формирование симплексных планов при числе факторов , равных 1 – отрезок (а), 2 – равносторонний треугольник (б)

и 3 – равносторонний тетраэдр (в)

Симплексный метод оптимизации наиболее целесообразно применять при необходимости решения задачи с высокой точностью поиска оптимума. Решение задачи рассмотрим на примере определения оптимальных скоростей движения сплошнойи дисперсной фаз жидкости в процессе экстракции.

Для противоточных экстракционных колонн оптимальные скорости движения дисперсной (W_D) и сплошной (W_С)фаз связаны уравнением

(5.76)

где (5.77)

где W_ХАР = соnst– характеристическая скорость.

Требуется найти W_Dи W_С при W_ХАР= 0,121.

В силу сложности функции (3.71) для решения задачи нецелесообразно использовать даже такой простой метод оптимизации, как метод Гаусса-Зейделя в сочетании с методом сканирования (нелинейное программирование), поскольку уже для двухмерной задачи объем расчетов будет достаточно велик: при исследовании области значений W_Dи W_С в пределах 0 ¸0,1 м/с с точностью D= 0,0005 м/с необходимо выполнить 40000 расчетов функций (5.76) и (5.77).

Применим симплексный метод оптимизации на базе теории планирования эксперимента, при этом в точках симплексного плана будем выполнять расчетный эксперимент, рассчитывая критерий оптимальности R по (5.76) с учетом (5.77).

При решении задачи симплексным методом расчет выполняется по следующему алгоритму (иллюстрация метода приведена на рис. 5.13).

1. При исследовании процесса по К факторам Z₁, Z₂ ,…, Z_Kв произвольной точке области исследования А разрабатывается матрица планирования для симплексов – пространственного К – мерного тела, состоящего из К + 1 точки (вершины), которые равноудалены друг от друга (при К = 2 симплекс – равносторонний треугольник).

2. Определив координаты вершин симплексов, в них выполняют физический или расчетный, как в данном случае, эксперимент, определяя таким образом К + 1 значение R_i в вершинах симплекса.

3. Сравнивая значения R_i между собой, определяют худшее (в нашем случае наибольшее) значение R_i и точку с худшим значением R_i отбрасывают.

4. Достраивают симплекс новой точкой, симметричной относительно отброшенной точки “поперек” грани симплекса, состоящей из оставшихся точек.

5. Во вновь построенной точке симплекса выполняют расчетный эксперимент и возвращаются на четвертый пункт алгоритма, выполняя таким образом перемещение к области экстремума (рис. 5.12). Подобный расчет выполняют до тех пор, пока симплекс не зациклится, т.е. как отбрасывание наихудшей точки (точка 10 на рис. 5.12) приводит к возвращению симплекса в позицию предыдущего расчета.

В этом случае расчет повторяют с первого пункта алгоритма, уменьшив размер симплекса за счет уменьшения шага варьирования DZ_Jпо каждому из параметров процесса в симплексной матрице планирования до тех пор, пока не получим DZ_J£D, где D– погрешность расчета оптимальных параметров Z_{1 ОПТ}= W_{D ОПТ} и Z_{2 ОПТ}= W_{С ОПТ}, при которых R

стремится к min (в данной задаче R_min = 0).

Z₂

10 ● 14●

12● ●13

6● ● ● ●9

7 11

4● ● ●

5 8

2 ● ● 1

●A

3●

Z₁

Рис. 5.13. Схема движения к оптимуму (минимум) симплексным методом.

Для рассматриваемого примера Z₁= W_D, Z₂= W

(Пунктирные линии равного уровня проведены условно)

Математические основы решения задачи

Для построения координатсимплекса в кодированных переменных

Х_J (–1£Х_J£+1) можно воспользоваться матрицей [Х](табл. 5.3), в которой по строкам даныкодированные значения Х_iJдля i-й точки симплекса, а по столбцам – номера параметра J(матрица приведена для числа исследуемых параметров К = 6, тогда симплекс насчитывает 7 точек).

Таблица 5.3

Матрица кодированных переменных симплексного плана

J=1 J=2 J=3 J=4 J=5 J=6

i=1 0,5 0,289 0,204 0,158 0,129 0,109

i=2 -0,5 0,289 0,204 0,158 0,129 0,109

i=3 -0,578 0,204 0,158 0,129 0,109

i=4 -0,612 0,158 0,129 0,109

i=5 -0,632 0,129 0,109

i=6 -0,645 0,109

i=7 -0,655

Для нашего эксперимента при К=2 и числа вершин симплекса N = К+1 = 3 выделяем часть матрицы [Х]при J=1,2, при i=1,2,3, то есть матрица кодированных значений Х_iJпримет вид

[Х] = (5.78)

В начальной произвольной точке расчета А, в качестве которой, например, можно принять центр области исследования с координатами (при 0£Z_i£0,1)

м/с,

м/с,

Выбираем область планирования эксперимента с координатами центра плана и шагами интегрирования DZ_J= =0,02 »D=0,0005 м/с. Тогда характеристика области исследования примет вид матрицы

Z₁ Z₂

0,05 0,05

Z_J 0,02 0,02

Согласно формуле кодирования для ортогональных матриц (симплексная матрица относится к ортогональным)

. (5.79)

Подставляя в (5.79) кодированные значения из матрицы (3.73,а), рассчитываем координаты трех вершин симплекса по уравнению

, (3.80)

например, для первой вершины симплекса 2 ● ● 1 по первому параметру (J=1)

3 ●

= 0,05 + (0,5) ·0,02 = 0,060 ,

по второму параметру

= 0,05 + (0,289) ·0,02 = 0,05578 .

Аналогичным расчетом определяем для второй вершины симплекса

= 0,05 + (–0,5) ·0,02 = 0,040,

= 0,05 + (0,289) ·0,01 = 0,05578

и для третьей вершины

= 0,05 + (0) ·0,02 = 0,05,

= 0.05 + (-0,578) ·0,02 = 0,03844.

Результаты расчета координат Z_iJпервых трех точек анализа области исследования на оптимум и расчета R_iпо (5.76) и (5..77) заносим в табл. 5.4.

В данном случае первая вершина – худшая, R₁– наибольшее; отбрасывая первую вершину, строим её зеркальное отражение – четвертую точку, которая в совокупности с оставшимися второй и третьей вершинами дает новый (второй симплекс).

Для расчета координат новой вершины рассчитываем значения параметров Z₁и Z₂ по уравнениям:

(8.81)

, (8.82)

с дополнительным условием U¹i ,

где - координаты отброшенной точки.

В частности, для четвертой рассчитываемой вершины второго симплекса при отбрасывании первой вершины (U=1) первого симплекса получим

;

;

;

;

в четвертой точке с координатами и рассчитываем R₄ , сравниваем значения R₂, R₃, R₄ для второго по ходу расчета симплекса и вновь определяем худшую вершину (в данном случае это вершина 2).

Данный алгоритм повторяем до зацикливания симплекса, то есть до тех пор, пока после исключения U^(N)–й вершины после выполнения N циклов расчета и перехода к U^(N+1)–й вершине следующего симплекса не окажется, что U^(N+1)–я вершина – самая неудачная, её надо исключать, но после исключения U^(N+1)–й вершины выполняется переход в точку с координатами U^(N)–й вершины предыдущего симплекса (табл. 5.4).

При зацикливании симплекса выбирают лучшую вершину последнего симплекса и вокруг нее, как центра нового плана, строится новый симплекс меньших размеров и повторяют алгоритм последовательного построения симплексов до очередного зацикливания симплексов.

Циклические операции выполняют до тех пор, пока при очередном уменьшении размеров симплекса при зацикливании решения задачи размеры симплекса по разности координат и по всем парам точек симплекса и не станут меньшими наперед заданной точности поиска координат экстремума .

Таблица 5.4.