Метод Бокса-Уилсона (метод крутого восхождения)

Метод основан на том, что коэффициенты линейного уравнения регрессии, записанного в терминах теории оптимизации в виде

, (5.72)

являются координатами градиентов

(5.73)

…

и позволяют определить направление движения к экстремуму. Таким образом, метод Бокса-Уилсона можно считать экспериментально-аналитической разновидностью градиентных методов нелинейного программирования. Поиск оптимума ведется, как правило, в кодированных значениях переменных. Рассмотрим алгоритм метода Бокса –Уилсона на примере двухфакторного процесса (рис.5.11).

х₂

8 9

6 12 13

5 11 10

1 2

х₁

3 4

Ограничение

Рис. 5.11. Иллюстрация метода Бокса –Уилсона

, , – опытные точки

1.В произвольной точке области оптимизации ставится план первого порядка по полному факторному эксперименту или дробной реплике ( в рассматриваемом случае ставим полный факторный эксперимент из четырех опытов – опыты 1 – 4 на рис. 5.11.

2. Рассчитываются коэффициенты уравнения регрессии (5.72) при линейных членах и по уравнению (3.43).

3. Начинается движение в плоскости, описываемой уравнением регрессии, из центра плана в сторону градиента (пунктирная стрелка на рис 5.11) с шагами по факторам процесса, пропорциональными коэффициентам и соответственно :

, (5.74)

, (5.75)

где – коэффициент пропорциональности.

После каждого шага (опыты 5 – 7 на рис. 5.11) ставится контрольный эксперимент для проверки адекватности движения по градиенту действительному ходу процесса .

4. Если на некотором шаге движения по градиенту модель оказалась уже неадекватной (в опыте 7 значение критерия оптимальности стало ниже, чем в предыдущем опыте 6), то есть по ходу движения совершился переход через хребтовую линию целевой функции, то возвращаемся на первый пункт алгоритма, рассматривая в качестве центра нового плана последнюю удачную точку движения по градиенту (точка 6), в ней разрабатывается новый план и продолжают 2 и 3 пункты алгоритма.

В итоге решения задачи, направление градиента меняется обычно 2-3 раза, после чего происходит зацикливание алгоритма – уже первый шаг из центра очередного плана становится неудачным. Это означает, что в ходе движения по градиенту мы подошли достаточно близко к околоэкстремальной области. Тогда план первого порядка достраивается до ортогонального плана второго порядка, выполняется эксперимент по матрице планирования второго порядка, разрабатывается квадратичное уравнение регрессии и определяются координаты оптимума классическим методом, приравнивая нулю первые производные квадратичного уравнения регрессии по параметрам оптимизируемого процесса.

При наличии ограничений в области оптимизации, не позволяющих достичь точки экстремума (рис. 5.11), метод крутого восхождения обычно позволяет определить наилучшие условия ведения процесса.

Метод является весьма быстродействующим, несмотря на громоздкость реализации компьютерной программы по данному алгоритму. Так, например, применительно к примеру сравнения различных методов оптимизации (стр. 131), для оптимизации двухпараметрической задачи методом сканирования придется выполнить 10000 опытов, при решении ее методом чисел Фибоначчи придется выполнить (в зависимости от скорости сходимости решения) 100-200 опытов, а используя метод Бокса-Уилсона лишь 20-30 опытов.