Исследование функции на монотонность

Пусть функция определена на множестве и пусть множество принадлежит множеству . Если для любых значений из неравенства вытекает неравенство:

1. , то функция называетсявозрастающейна множестве ;

2. , то функция называется неубывающей на множестве ;

3. , то функция называется убывающей на множестве ;

4. , то функция называется невозрастающей на множестве .

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие -строго монотонными.

 

Достаточные условия возрастания и убывания функции:Если функция дифференцируема на интервале и для любых , то эта функция возрастает (убывает) на заданном интервале.

<!--[endif]-->

Если для любых , то функция не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение.Область определения функции – вся числовая прямая. Находим производную функции . Методом интервалов находим интервалы знакопостоянства производной.

Из неравенства следует, что функция возрастает при всех значениях ;

а из неравенства следует, что функция убывает на интервале .

Вопрос. Функция возрастает на интервале:

Начало формы