Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
I) Система двух линейных неоднородных уравнений с двумя неизвестными
Обозначим
основной определитель системы;
, вспомогательные определители.
а) Если определитель системы , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
, . (1)
б) Если определитель системы , то возможны случаи:
1) (уравнения пропорциональны), тогда система содержит только одно уравнение, например, и имеет бесконечно много решений (неопределённая система). Для её решения необходимо выразить одну переменную через другую, значение которой выбирается произвольно;
2) если хотя бы один из определителей отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместная система).
II) Система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными
(2)
Линейное уравнение называется однородным, если свободный член этого уравнения равен нулю.
а) Если , то система (2) сводится к одному уравнению (например, первому), из которого одно неизвестное выражается через два других, значения которых выбираются произвольно.
б) Если условие не выполнено, то для решения системы (2) перенесем одну переменную вправо и решим систему двух линейных неоднородных уравнений с использованием формул Крамера (1).
III) Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:
Составим и вычислим основной определитель и вспомогательные определители , .
а) Если , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
, , (3)
б) Если , то возможны случаи:
1) , тогда система будет иметь бесконечно много решений, она будет сводиться либо к системе состоящей из одного, либо из двух уравнений (одну неизвестную перенесём направо и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными);
2) хотя бы один из определителей отличен от нуля, система не имеет решения.
IV) Система трёх линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:
Эта система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.
а) Если определитель системы , то она имеет единственное нулевое решение.
б) Если же , то система сводится либо к двум уравнениям (третье является их следствием), либо к одному уравнению (остальные два являются его следствием) и имеет бесконечно много решений (см. п. II).
Задача 4. Решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель системы
Так как , то система имеет единственное решение. Воспользуемся формулами Крамера (3). Для этого вычислим вспомогательные определители:
, ,
Тогда
, ,
Задача 5. Решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель системы:
Следовательно, система однородных уравнений имеет бесконечно много решение, отличных от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием):
Перенесём переменную в правую часть равенства:
Отсюда по формулам (1) получаем
, .