Кинематический анализ графоаналитическим методом

 

3.2.1 Определение положения звеньев и траекторий движения точек

Для задания и определения различных величин при графи­ческих построениях используют масштаб, т.е. отношение числен­ного значения величины к длине отрезка, изображающего ее на чертеже.

Выполненная в масштабе схема взаимного расположения звеньев механизма, соответствующего заданному положению входного звена (заданной обобщенной координате механизма), назы­вается планом механизма.

Вычертим план механизма (рис.3.1.).

Пусть длина входного звена l_О1А [м].

На чертеже мы изображаем входное звено отрезком O₁A.

Масштаб планамеханизма K_l = l _O1A / O₁ A [м/мм]

Рис.3.1.

 

Длины отрезков, изображающих остальные звенья, и коорди­наты кинематических пар, соединяющих звенья со стойкой, опре­деляются с учетомвычисленного масштаба.

Для определения положения звеньев и траекторий движения их точек необходимо траекторию движения входного звена разделить на несколько равных частей. На одном чертеже построить планы механизма, соответствующие различным положениям входно­го звена, используя для этого метод засечек. Кривая, соединя­ющая последовательные положения одной и той же точки звена, будет траекторией движения этой точки.

Методика построения плана механизма подробно изложена в методических указаниях [15,17], не представляет сложности, поэтому на ней мы останавливаться не будем.

 

3.2.2 Определение скоростей движения точек и звеньев механизмов

Поскольку заданы длина звена О₁ А и его угловая скорость, можно определить скорость т. А, принадлежащей одновременно звеньям 1 и 2.

^ O₁A в направлении угловой скорости.

Для определения скорости т. C, также принадлежащей звену 2, рассмотрим ее движение вместе со звеном 2.

Звено 2 совершает плоское (плоско-параллельное) движение. В теоретической механике это движение рассматривалось как состоя­щее из переносного поступательного движения вместе с произволь­ной точкой, принятой за полюс, и относительного вращательного движения вокруг полюса.

За полюс принимается точка, параметры движения которой из­вестны.

Таким образом, движение звена 2 можно рассматривать как посту­пательное вместе с т. А и вращательное вокруг т. А.

Абсолютная скорость точкиС:

₌₌₌₌₌ ^ AC

 

В этом уравнении `v<sub>A</sub> известен по величине и направлению, `v_CA -только по направлению (^ AC). Следовательно, в этом векторном уравнении 3 неизвестных и его решить нельзя.

Рассмотрим дополнительно движение т. С со звеном З. Вместе со звеном 3 т. С совершает движение вокруг т. О₂ По аналогии можно записать

= 0 ^O₂C

В полученной системе уравнений четыре неизвестных. Решаем эту система графически путем построения плана скоростей (рис.3.2а).

Выбираем произвольною точку р за полюс плана скоростей.

Через р проводим линию ^ О₁ А и на ней откладываем произвольный отрезокра, изображающий`v_A.Определяем масштаб плана скоростей

Через т. a проводим линию^АС (линия направления `v<sub>СA</sub>), а через полюс р- линию ^ О<sub>2</sub>С (линия направления v<sub>СО2</sub>). На пересечении этих линий получим т. с, определяющую концы векторов скоростей `v_С и`v_СA.

Эти скорости равны

Поскольку вектор pc является суммой векторов pa и ac , то обе стрелки направлены к т. с.

Прежде чем перейти к следующей группе Ассура, отметим свойства планов скоростей:

1. Векторы, проходящие через полюс р , изображают величины векторов абсолютных скоростей точек, обозначения которых указаны у стрелок векторов. Эти векторы всегда направлены от по­люса.

2. Векторы относительных скоростей точек одного звена всегда соединяют концы векторов абсолютных скоростей этих то­чек.

3. Прямые линии, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей точек одного звена, образуют на плане скоростей фигуру, подобную фигуре звена на плане механизма, но поовернутую на угол p / 2 в направлении угловой скорости звена. Это свойство называется свойством подобия.

Воспользуемся 3-й свойством для определения скорости т. B, принадлежащей 2-му и 4-му звеньям.

Согласно свойству подобия

 

 

 

a)

б)

 

Рис.3.2

 

Откладываем отрезок ab на ac, т. b соединяем с полюсом:

_.

Для нахождения скорости т. D рассматриваем ее движение вместе со звеньями 4 и 5.

Звено 4 совершает плоское движение, ко­торое можно рассматривать как поступательное вместе ст.В и вращательное вокруг т.В, т.е.

Вместе со звеном 5 т. D совершает поступательное движение вдоль направляющей, т.е.

( т. D₀ принадлежит направляющей и v_D0 = 0 )

Уравнения решаем графически, продолжая строить план скоростей.

Определяем угловые скорости звеньев.

Для определения направления угловой скорости необходимо вектор относительной скорости точек одного звона мысленно перенести с плана скоростей в соответствующую точку плана механизма. Угловая скорость будет направлена по направлению вектора от­носительной скорости.

w_2, w₄ - направлены против часовой стрелки,

w₃, - по часовой стрелке.

3.2.3. Определение ускорений движения точек и звеньев механизмов.

Полное ускорение точки А входного звена 1, которая движется по окружности радиуса l_O1A вокруг неподвижной т. O₁, определяется векторным уравнением:

Нормальное (центростремительное) ускорение

и направлено от т. А к центру вращения.

Тангенциальное (касательное) ускорение направлено ^ О₁ А в сторону углового ускорения e₁.

Т.к. w₁ = const, то e₁ = 0 , следовательно и . Тогда a_A = a_Aⁿ

Для определения ускорения т. С рассматриваем ее движение относительно точек А и О₂. Составляем два векторных урав­нения:

Вектор aⁿ_CA направлен вдоль звена AC к точке A, вектор a^t_CO2 направлен вдоль звена CO₂ к точке О₂.

Полученную систему векторных уравнений решаем графически путем построения плана ускорений (рис.3.2б.).

Построение плана ускорений:

Из произвольной точкиp (полюс плана ускорений) откладываем a_Aⁿ в виде отрезка pa || O₁ A и определяем масштаб плана ускорений

От т. а откладываем вектор a_CA || AC в направлении от т. С к т. А.

ac¢ = aⁿ_CA / k_a

Через полученную точку c¢ проводим линию по направлению a_CA^t (^ AC). Из p откладываем вектор aⁿ_CO2 (^ CO₂), направленный от С к О₂.

ac¢¢ = aⁿ_CO2 /k_a

Через точку с" проводим линию направления a^t_CО2 (^ О₂ С). Пересечение линий ^ AC и ^ О₂ С дает точку c. Соединив ее с полюсом p, получим

Соединив т. а с т. с, получаем

Угловые ускорения звеньев определяются по формулам:

Направление угловых ускорений определяется путей переноса тангенциальных ускорений с плана ускорений на схему меха­низма.

В данном случае угловое ускорение звена 3направ­лено против часовой стрелки, а звена 2 - по часовой стрелке.

 

Основные свойства плана ускорений:

1. Векторы абсолютных ускорений точек механизма всегда направлены от полюса.

2. Векторы полных относительных ускорений точек одного звена соединяют концы векторов абсолютных ускорений этих то­чек.

3. Прямые линии, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений точек одного звена, образуют на плане ускорений фигуру, подобную фигуре звена на схеме механизма, но повернутую на угол (180° - b) в направлении углового ускорения звена. (свойство подобия).

Угол b измеряется между вектором полного ускорения точки звена и нормальной составляющей этого ускорения

Используя свойство подобия плана ускорений, определяем ускорение т.В.

Составим пропорцию ac/AC=ab/AB, откуда ab=(ac*AB)/AC. Отложим отрезок ab на ac. Соединим т.b c полюсом π. Получим: πb*k_a= a_В.

Для нахождения ускорения т.D рассмотрим ее движение вместе со звеном 4 (шатун) и звеном 5 (ползун). Составим векторные уравнения:

Вектор a_B известен по величине и направлению.

aⁿ_DB =ω²₄ *l_BD , этот вектор направлен вдоль звена BD к т.B.

Вектор a^τ_DB направлен перпендикулярно звену BD.

Так как т.D₀ принадлежит направляющей, то a_D0 = 0.

Вектор a_DD0 направлен параллельно направляющей ползуна.

Систему векторных уравнений решаем графически продолжая построение плана ускорений.

Через т.b плана ускорений проводим линию, параллельную BD, и на ней откладываем отрезок bd¹=aⁿ_DB / k_a, изображающий на плане ускорений aⁿ_DB.. Через т. d¹ проводим линию, перпендикулярную BD (линия направления a^τ_DB). Через полюс плана ускорений π проводим линию, параллельную направляющей ползуна (по ней направлен вектор a^τ_DD0). Пересечение этих линий определяет положение т.d. Соединяем т.d с полюсом π.

πd*k_a = a_D; d¹d*k_a = a^τ_DB.

Соединив точки d и b, найдем полное относительное ускорение т.D относительно B.

a_DB = db*k_a

Угловое ускорение звена 4 ₄ = a^τ_DB / l_BD направлено против часовой стрелки.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется планом механизма?

2. Как определяется масштаб графических построений при графоаналитическом методе кинематического анализа?

3. Как построить графически траектории движения точки кривошипа, коромысла, шатуна, ползуна?

4. Что понимается под термином «скорость»?

5. Что понимается под термином «ускорение»?

6. Как определить скорости точек звеньев механизма графоаналитическим методом?

7. Как найти величину и направление угловых скоростей звеньев механизма?

8. Как направлены нормальные и тангенциальные ускорения точек звеньев механизма?

9. Как определить полные относительные и абсолютные ускорения точек звеньев механизма?

10. Как определить величину и направление угловых ускорений звеньев механизма?

11. Назовите свойства планов скоростей.

12. Какое свойство планов скоростей называется «свойством подобия»? Для чего оно используется?

13. Назовите свойства планов ускорений.

14. Как найти величину и направление ускорений центров масс звеньев?