ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ

В процессе обучения математике учащиеся часто сталкиваются с отношениями между фигурами, которые задаются словами «больше», «меньше», «выше’», «ниже», «шире, одинаковые», «над», «под»,

Например, к рис. 68 учитель ставит такие вопросы: «Какой квадрат по размерам больше? Какой — меньше? Есть ли одинаковые квадраты?>)

Выбирая квадраты попарно:

(1, 2), (1, 3), 2, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3), учащиеся

по размерам больше второго и третьего; второй меньше первого, но равен второму, третий — меньше первого, но равен второму. для введения понятий «выше>), «ниже», «одинаковые по высоте» по такому же плану можно рассмотреть с учащимися столбики или пирамиды, сложенные из кубиков.

Понятия «отрезок и «длина отрезка в начальной школе четко не различаются. Однако, говоря об отношениях равенства или неравенства отрезков, имеют в виду равенство или неравенство длин отрезков. Длины данных отрезков (например, вырезанных из бумаги) сравниваются попарно. Учащиеся наложением устанавливают, что один из них имеет большую длину, другие — меньшую, а некоторые равны по длине.

Отношение «иметь одну общую точку» в множестве прямых может быть введено неявно в первом классе. Здесь же вводится и отношение равенства геометрических фигур. Так, учащиеся вырезают равные, или, как ни говорят, одинаковые треугольники, прямоугольники и другие геометрические фигуры. Разрезая квадрат, равнобедренный треугольник и ромб (рис. 69) по намеченным линиям, школьники

убеждаются в равенстве полученных фигур путем наложения одной фигуры на другую.

Из вузовского курса математики известно, что между различными разделами математики существует глубокая связь. Так, геометрические отношения, понятия можно перевести на язык алгебры. С другой стороны, многим алгебраическим понятиям можно дать геометрическую интерпретацию. Для перевода с геометрического языка на алгебраический и наоборот может использоваться метод координат.

Знакомство школьников с координатным методом может начаться с первого класса, конечно, в методически целесообразной форме. Так например, каждому отрезку, соизмеримому с отрезком длиной 1 см, ставится в соответствие натуральное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок укладывается в измеряемом. Числу 7 ставится в соответствие отрезок, в котором единичный отрезок длиной 1 см уложен 7 раз.

Графическая иллюстрация многих задач на движение позволяет раскрыть некоторые особенности метода координат. Пусть, например, дана задача: «Расстояние от Москвы до Ленинграда 650 км. Пассажир поезда Ленинград — Москва заметил по надписи на путевом столбе, что до Москвы осталось 70 км. На каком расстоянии от Ленинграда находится в это время поезд?» Ее можно проиллюстрировать схемой, приведенной на рис. 70.

Учащимся можно предложить и другие иллюстрации, в которых используется понятие координатной прямой (рис. 71, 72). В них числовой промежуток отражается на отрезок так, что каждому числу из данного числового промежутка ставится в соответствие единственная точка отрезка и, наоборот, каждой точке отрезка ставится в соответствии число из взятого промежутка.

Приведем примеры еще нескольких заданий:

1) отметь в тетради точки так, как показано на рис. 73.

2) начерти в тетради данные многоугольники и найди сумму длин сторон каждого из них (рис. 74);

3) начерти ломаную и найди ее длину (рис. 75).

При выполнении таких заданий приходится характеризовать положение каждой точки относительно другой точки парой чисел. Рассуждения учащихся при выполнении первого задания могут быть такими: «Отметим верхнюю левую точку. Отсчитаем от нее 5 клеточек вправо и поставим верхнюю правую точку. От верхней правой точки отсчитаем пять клеточек вниз и три клеточки вправо и отметим нижнюю правую точку. От первой точки (верхней левой)

отсчитаем вниз пять клеточек, а влево - две, поставим четвертую точку ».

Так как в качестве начальной можно выбрать любую из четырех точек, то и рассуждения могут быть различными. Известно, что положение любой точки относительно данной на плоскости может быть охарактеризовано парой чисел. Так, если в рассмотренном выше задании обозначить точки буквами А, В, С, В, то точку А можно охарактеризовать парой чисел — (О, О), В парой чисел (5, 0) относительно точки А, С — парой чисел (3, — 5) относительно точки В, В — парой чисел (— 3, — 5) относительно точки А.

В начальной школе рассматриваются геометрические преобразования плоскости, сохраняющие расстояния. Однако ни общего определения геометрического преобразования, ни определений отдельных его видов не дается. Первые представления о геометрических преобразованиях учащиеся получают при вырезании из листа бумаги различных геометрических фигур. Механические перемещения фигур, вырезанных из бумаги, для составления из них других фигур — это то, что составляет наглядную основу понятия преобразования.

Учащимся можно предложить самые разнообразные задания такого рода:

1) начертить два таких треугольника, как красный, и два таких, как синий;

2) вырезать начерченные треугольники;

3) составить из них: а) различные четырехугольники; б) пятиугольник; в) шестиугольник.

Выполняя построение двух равных треугольников на листе

метричные фигуры (см. рис. 77). Учащимся не сообщается, какие из полученных фигур имеют ось симметрии или центр симметрии, а какие —. нет. Однако практическая работа по составлению различных фигур поможет им в дальнейшем при знакомстве с различными видами перемещений.

зо. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Важным средством формирования у учащихся геометрических представлений являются задачи на построение. В процессе геометрических построений ученики в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки.

В правильности математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются в процессе геометрических построений. Так образом, например, устанавливается тот факт, что через одну точку можно провести бесчисленное множество прямых, -ведут через две только одну прямую что на прямой можно указать бесконечное множество точек, принадлежащих этой прямой; что по трем точкам можно построить треугольник; что отрезки, имеющие равные длины, одинаковые.

1 В начальной школе термины отрезок», <треугольник», «четырехугольник», «пятиугольник» разъясняются с помощью задач на построение. Так, например, уже в первом классе учащимся прилагается начертить в тетрадях такие же фигуры, как и в учебнике.

Научившись выделять прямоугольники из множества четырехугольников, младшие школьники строят эти фигуры в тетради по образцу, данному в учебнике: «Отметь точки, как показано на чертеже, и соедини их отрезками так, чтобы получился четырехугольник. Как называется этот четырехугольник?’> Последующие задания предполагают построение прямоугольников в тетради по образцу рассмотренного задания.

В 1—ТУ классах решаются в основном метрические задачи на построение, в которых обращается внимание только на размеры и форму искомой фигуры. Например: «Построить прямоугольник, периметр которого 12 см Построить разные прямоугольники, сумма длин сторон которых равна 12 см».

Могут быть рассмотрены и другие по своему характеру задания. Выполняя их, учащиеся должны принимать во внимание не только размеры и форму фигуры, но и ее положение на плоскости относительно данных элементов. Например: «Начерти два круга. Раздели окружность первого круга на четыре части, а второго — на три части. Точки деления соедини последовательно отрезками. Какие многоугольники получились внутри круга?

К определениям и истинным математическим предложениям учащихся следует подводить через задачи на построение. Это значительно активизирует их познавательную деятельность и способствует сознательному усвоению изучаемого материала. Задачи на построение дают возможность закреплять ранее изученный материал, устанавливать новые математические факты и способствуют выработке у учащихся навыков правильных рассуждений, поиска решения задач.

Процесс решения задач на построение разбивается обычно на четыре этапа: анализ, построение, доказательство, исследование. В 1—ТУ классах следует начать постепенное, неявное для учащихся и хорошо осознаваемое учителем ознакомление с общей схемой решения задач на построение. Это означает, что при решении любой задачи на построение следует. выделять названные четыре этапа. В зависимости от содержания задач и целей, преследуемых при их решении, на первых шагах обучения число этапов может варьироваться: построение и и9следование; построение и доказательство; анализ и построение. У

Построение и исследование проводятся при выполнении заданий вида: «Начерти так треугольник (рис. 78). Проведи один отрезок так, чтобы получилось еще два треугольника»!

Учитель руководит процессом построения например, так: «Обозначим вершины треугольника, который надо построить, цифрами 1, 2, 3. (На доске или плакате над вершинами треугольника проставляются цифры 1, 2, 3.) Как расположена вершина 2 относительно вершины 1? (На пять клеточек вправо и две клеточки вниз.) Отметьте вершину 2. Как расположена вершина 3 относительно вершины?

(Три клеточки влево и три клеточки вниз.) Отметьте ее. Проведите в треугольнике отрезок так, чтобы получилось два треугольника».

На этом заканчивается этап построения и начинается исследование. Выясняется, сколько отрезков можно провести в треугольнике, чтобы получилось еще два треугольника.

Приведем пример задачи на построение с последующим доказательством: «Начерти прямой уголх. Учащиеся вычерчивают прямой угол и доказывают правильность построения с помощью модели прямого угла или чертежного угольника.

Ан а л и з и пост р ое н и е можно проиллюстрировать следующей задачей: «Начертите четырехугольник, у которого два угла прямые, а два других — непрямые>’. Учитель вывешивает на доске таблицу, в которой приведены четырехугольники различных видов (рис. 79). Ученикам предлагается назвать четырехугольники, у

торых два угла прямые, а два других — непрямые. После этого учащиеся приступают к построению.

Затем число этапов решения задач на построение можно увеличить. Так, например, анализ, построение и исследование проводят

при решении таких задач: «Построй прямоугольник, сумма длин

сторон которого 12 см. Построй разные прямоугольники с такой же

суммой длин сторон (длина каждой стороны должна быть выражена целым числом)>’:

А н а л из. Учитель предлагает подобрать числа, которые могли

бы быть длинами сторон искомого прямоугольника (рис. 80).

По ст р ое ни е. По данным, полученным при анализе длин сторон искомого прямоугольника,

строится один из прямоугольников.

Исследование учащиеся устанавливают, что существуют три различных прямоугольника,

сумма длин сторон которых равна 12 см: 1 см и 5 ся, 2 см и 4 см, З см и З см. Один из прямоугольников — квадрат.

В начальной школе решаются простейшие конструктивные за

дачи с использованием линейки, угольника, циркуля. Эти задачи

способствуют формированию умений и навыков выполнения элементарных построений чертежными инструментами.

Вопросы и задания для самостоятельной работы
К § 28
1. Назовите геометрические понятия, которые изучаются в начальной школе. Почему именно они являются предметом изучения?
2. Приведите примеры, иллюстрирующие вспомогательную функцию элементов геометрии в начальном курсе математики.
3. Опишите методику формирования у учащихся геометрических понятий, предусмотренных программой.
4. Какие возможности для развития логического мышления учащихся предоставляет изучение геометрического материала? Приведите конкретные примеры.
К § 29
5. С какими отношениями знакомятся младшие школьники при изучении геометрического материала?
К § ЗО
б. Какую функцию в начальной школе выполняют задачи на построение?
7. Приведите примеры типичных для начальной школы задач на построение.
8. Из каких этапов состоит решение задачи на построение? Покажите, в какой мере общая схема решения задач на построение может использоваться в начальных классах.