Кривая Безье (формулы и принципы построения)

Лекция

Кривые Безье в векторной графике

План:

1. Принципы построения кривых Безье

1.1. Свойства кривых Безье

1.2. Канонический вид кривой Безье

1.3. Изменение формы кривой

1.4. Соединение нескольких секторов

2. Типы опорных точек

3. Историческая справка о кривых* (Для дополнительного изучения)

Кривая Безье (формулы и принципы построения)

В общем случае кривая Безье — это частный случай В - сплайнов[1] (NURBS-кривых), которые можно определить как взвешенная сумма п+1 контрольных точек, где весовыми коэффициентами являются полиномы Бернштейна.

Рассмотрим определения первых трех степеней кривой Безье.

Линейная кривая, кривая первой степени (прямая), определяется следующей параметрической формулой:

P(t) = (1 - t)P₀+tP₁

Это выражение представляет собой линейную интерполяцию между двумя точками (рис. 1).

Рис. 1.Кривая первой степени (прямая)

Квадратичная кривая, кривая второй степени, определяется формулой:

P(t) = (1 - t)²P₀ + 2(1 - t)tP₁ + t²P₂.

Это выражение представляет собой линейную интерполяцию между линейными интерполяциями между точками (рис. 2):

Рис. 2.Кривая второй степени (квадратическая кривая)

Кубическая кривая, кривая третьей степени, определяется формулой:

P(t) = (1 - t)³Р₀ + 3(1 - t)²tP₁ + 3(1 - t)t²P₂ + t³Р₃.

Выражение представляет собой линейную интерполяцию между линейными интерполяциями между линейными интерполяциями между точками (рис. 3).

Рис. 3.Кривая третьей степени (кубическая кривая)