Исходные данные

 

№ пункта Координаты исходных пунктов Измеренные углы sa = 1,0² Измеренные расстояния sS = 0,1 м
Х1, м Х2, м
84 396,80 77 632,31 115 55 46,1 18 257,32
89 688,00 100 428,20 205 39 21,5 14 725,80
66 275,02 93 752,04 1 41 40,2 10 143,26

 

Результаты вычислений для целевой функции (3.3) приведены в табл. 4.2, где х1, х2 ¾ уравненные координаты, V ¾ поп­равки в измерения.

Таблица 4.2

Результаты оценки точки прямой и линейной засечек при n = 2

 

Обозначения Прямая засечка Линейная засечка
Х1 76 413,318 м 76 414,018 м
Х2 94 052,006 м 94 051,045 м
V1 0,54² 0,073²
V2 0,99 0,165
V3 0,74 0,181
m 1,35 0,255
DF 1,82 0,065
a 0,115 м 0,255 м
b 0,055 0,180
Q 4° 48¢ 91° 30¢
Q11 0,00725 0,499
Q22 0,00171 1,003
Q12 0,00047 - 0,0132
M 0,128 м 0,312 м

 

Преимущество предложенной методики вычисления элементов эллипса ошибок заключается в том, что она пригодна не только при обработке по методу наименьших квадратов, где используется целевая функция (3.3), но и для других критериев уравнивания в соответствии с критериальной функцией (3.1) при любом n. Здесь так же применяется целевая функция (4.4), но выбирается конкретное значение, DF, которое при n = 2 равно m2. Если n ¹ 2, то теорем, в соответствии, с которыми выбира­ется DF, нет. В этих условиях предлагаем получать неиз­вестное приращение DF, считая при любом n значе­ние большой полуоси эллипса таким же, как для случая n = 2. Следовательно, методика при n ¹ 2 будет состоять из сле­дующих этапов: находим полуось a при n = 2; затем при n ¹ 2 определяем угол Q, не зависящий от DF; по направлению Q вычислим значение целевой функции (3.1) на расстоянии от ее минимума, равном a, и вычислим ис­комое DF. Так, при любом n большая полуось эллип­са будет одинаковой, и следовательно, вероятность попадания в него будет близка к 0,39 ¾ вероятности попадания в средний квадратический эллипс ошибок. Результаты такой оценки точности при различных n даны в табл. 4.3 и 4.4.

 

Таблица 4.3.

Результаты оценки точности прямой засечки при n ¹ 2

 

Обозначения n = 1 n = 3 n = 4
Х1 76 413,389 м 76 413,306 м 76 413,301 м
Х2 94 051,971 м 94 052,007 м 94 052,007 м
V1 0² 0,66² 0,71²
V2 1,85 0,89 0,86
V3 0,78 0,79
m 1,85 1,36 1,37
DF 0,523 2,46 3,35
A 0,115 м 0,115 м 0,115 м
B 0,026 0,038 0,033
Q 115° 56¢ 9° 08¢ 10° 04¢
Q11 0,00090 0,00699 0,00685
Q22 0,00316 0,00094 0,00078
Q12 - 0,00144 0,00100 0,00111
M 0,118 м 0,121 м 0,120 м

 

Таблица 4.4.

Результаты оценки точности линейной засечки при n ¹ 2

 

Обозначения n = 1 n = 3 n = 4
Х1 76 414,185 м 76 414,006 м 76 414,001 м
Х2 94 052,045 м 94 052,078 м 94 052,091 м
V1 0² 0,108² 0,122²
V2 0,013 0,162 0,160
V3 0,348 0,169 0,165
m 0,348 0,258 0,260
DF 0,0441 0,0338 0,0130
A 0,255 м 0,255 м 0,255 м
B 0,0314 0,191 0,201
Q 17° 39¢ 89° 51¢ 83° 04¢
Q11 0,488 0,548 0,603
Q22 0,0567 0,477 0,957
Q12 0,153 0,00112 0,0436
M 0,257 м 0,319 м 0,324 м

 

Данная методика устойчива при любом качестве засечек и не дает деления на ноль даже в вырожденном случае. Подтвердим сказанное на примере обратной засечки на плоскости, у которой все пункты лежат на одной окружности (рис. 4.2)

 

 
 

 

 


2 3

 

       
   
 
 

 


1 4

 
 

 


M

 

 

Рис. 4.2. Обратная засечка

Допустим, что методом нелинейного программирования получен минимум целевой функции в точке М. По изолинии, выделен­ной на рис. 4.2 между исходными пунктами 1 и 4, будет найден эллипс, по размерам которого убедимся в плохом качестве засеч­ки, и деления на ноль не произойдет. Следовательно, методы не­линейного программирования не требуют применения регуляризации для вырожденных случаев.