Операции над множествами и их свойства.

План лекции:

1) Пересечение множеств.

2) Объединение множеств.

3) Разность множеств.

4) Симметрическая разность.

5) Дополнение множеств.

6) Декартово (прямое) произведение двух множеств.

 

1. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечение множеств А и В обозначают: А Ç В.

А Ç В = {х| хÎА и хÎВ}

Если представить множества А и Впри помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 1).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А Ç В = Æ.

А Ç Æ = Æ.

Если ВÌ А, то А Ç В = В.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением.

Пример.

1) А={1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А Ç В = {4, 5}

2) Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

3) Пересечением множества чётных чисел и множества нечётных чисел пусто.

2. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают: А È В.

А È В = {х| хÎА или хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 2).

Если ВÌ А, то А È В = А.

А È Æ = А.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

Пример.

1) А={1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А È В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2) Объединение множества положительных чётных чисел и множества положительных нечётных чисел является множество натуральных чисел.

 

 

Если в выражении есть Ç и È множеств, но нет скобок, то сначала выполняют Ç.

 

Операции пересечения и объединения множеств обладают свойствами:

1° Коммутативность пересечения

"А, В А Ç В = В Ç А

2° Коммутативность объединения

"А, В А È В = В È А

3º Ассоциативность пересечения

"А, В, С (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С)

4º Ассоциативность объединения

"А, В, С (А È В) È С = А È (В È С)

5º Пересечение дистрибутивно относительно объединения

"А, В, С А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

6º Объединение дистрибутивно относительно пересечения

"А, В, С А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)

7º "А А Ç А = А

8º "А А È А = А

 

Доказательство:

Справедливость каждого из этих утверждений можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака.

 

Например, докажем свойство 6º.

а) Докажем, что А È (В Ç С) Ì (А È В) Ç (А È С).

Пусть х Î А È (В Ç С). Тогда х Î А или х Î (В Ç С).

Если х Î А, то х Î А È В и х Î А È С, а, следовательно, х Î (А È В) Ç (А È С).

Если х Î (В Ç С), то х Î В и х Î С. Следовательно, х Î А È В и х Î А È С, т.е. и в этом случае х Î (А È В) Ç (А È С).

б) Докажем, что (А È В) Ç (А È С) Ì А È (В Ç С).

Пусть х Î (А È В) Ç (А È С). Тогда х Î А È В и х Î А È С.

То есть, (х Î А или х Î В) и (х Î А или х Î С).

Значит, х Î А или (х Î В и х Î С), т.е. х Î А È (В Ç С).

 

Проиллюстрируем свойство 6º на диаграммах Эйлера–Венна.

 

3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Обозначают А \ В; А – В.

А \ В = { х| хÎА и хÏВ }

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 3).

Операция, при помощи которой находят разность множеств, называется вычитанием.

Пример.

1) А={1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А \ В = {1, 2, 3}

2) Разностью множества чётных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

 

 

4. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих только множеству А или только множеству В.

Симметрическую разность множеств А и В обозначают: А ∆ В; А – В.

А ∆ В = { х| хÎА, хÏВ или хÏА, хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то симметрическая разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 4).

А ∆ В = (А \ В) È (В\ А)

А ∆ В = (А È В) \ (А Ç В)

5. Универсальным множеством U (основным множеством) называется множество, для которого все множества, рассматриваемые в данный момент, являются подмножествами.

Универсальное множество часто изображают прямоугольником.

Например, для N универсальным считается множество Z.

 

Дополнением множества А называется разность между универсальным множеством и множеством А.

Дополнение множества А обозначают .

= U \ A = {хÏА}

При помощи кругов Эйлера дополнение изображается рис. 5.

È А = U = Æ

Ç А = Æ = U

Пример.

1) А = {2k}; U = Z ® = Z \A = {2k+1}.

 

Операции разности и дополнения множеств обладают свойствами:

9º Разность антидистрибутивна относительно пересечения. "А, В, С

А \ (В Ç С) = (А \ B) È (A \ C)

10º Разность антидистрибутивна относительно объединения. "А, В, С

А \ (В È С) = (А \ B) Ç (A \ C)

11º (частный сл. 9º) Дополнение пересечения А и В равно объединению дополнений А и В.

12º (частный сл. 10º) Дополнение объединения А и В равно пересечению дополнений А и В.

Докажем св. 9º и проиллюстрируем его на диаграммах Эйлера–Венна.

а) Доажем, что А \ (В Ç С) Ì (А \ B) È (A \ C).

Пусть х Î А \ (В Ç С).

Тогда х Î А и х Ï (В Ç С), т.е. или х Ï В, или х Ï С.

Значит, или (х Î А и х Ï В), или (х Î А и х Ï С), т.е. х Î А \ B или хÎА\ С.

Т.е. х Î(А \ B) È (A \ C).

 

 

б) Докажем, что (А \ B) È (A \ C) Ì А \ (В Ç С).

Пусть х Î (А \ B) È (A \ C).

Тогда х Î (А \ B) или х Î (A \ C), т.е. (х Î А и х Ï В) или (х Î А и х Ï С)

return false">ссылка скрыта

Значит, х Î А и (х Ï В и х Ï С), т.е. х Î А \ (В Ç С).

 

 

Дом. задание. Доказать и проиллюстрировать на диаграммах Эйлера–Венна свойства 1 – 5, 7 – 12.

Задание. Найти пересечение, объединение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если А = {хÎR ½–1£ х < 4}, B = { хÎR ½ 2 < x £ 6}

А Ç В = {хÎR ½2 < x < 4},

А È В = {хÎR ½–1 £ x £ 6},

А \ B = {хÎR ½–1 £ x £ 2},

В \ А = {хÎR ½4 £ x £ 6},

А ∆ В = {хÎR ½–1 £ x < 2, 4 < x £ 6}.