Что такое нули функции и что такое интервалы знакопостоянства функции?
Рассмотрим некоторую функцию .
1) Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс», при которых функция обращается в ноль. В следующем условном примере нули функции обозначены красными точками:
Очевидно, что . Заметьте, что точка не является нулём функции, поскольку не входит в её область определения.
2) Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
В нашем случае функция положительна на интервалах , то есть для любого значения «икс» любого из перечисленных интервалов справедливо строгое неравенство . Или совсем просто – график функции на таких интервалах расположен ВЫШЕ оси абсцисс.
На интервалах функция отрицательна, то есть любому значению «икс», принадлежащему этим интервалам соответствует строгое неравенство , и график функции расположен НИЖЕ оси .
Компактная запись перечисленных фактов выглядит так:
, если ;
, если .
Строки можно переставить местами, это не имеет принципиального значения, лично я привык сначала указывать интервалы, на которых функция положительна.
Что можно сказать об интервале ? Только то, что функция не определена на данном интервале, и, разумеется, о знакопостоянстве речи не идёт вообще.
Примечание: в математике более широким является термин«промежуток», который включает в себя не только интервал, но и полуинтервал либо отрезок. Полуинтервалы и отрезки знакопостоянства часто встречаются укусочно-заданных функций. В частности, если на вышеуказанном чертеже «закрасить» точку с абсциссой , то получим промежуток (в данном случае – полуинтервал) знакопостоянства . Однако далее будут рассматриваться «обычные» функции, обладающие только интервалами знакопостоянства, поэтому в термине «промежуток знакопостоянства» нет особой нужды.