Параметры вероятностной сетевой модели ТЭП

При моделировании сложных технологических процессов чаще всего возникают ситуации, когда продолжительности работ заранее не известны и могут принимать возможные различные значения в каком-то временном диапазоне. Другими словами, можно сказать, что продолжительность работы t(i,j) является случайной величиной, характеризующейся своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками – средним значением, или математическим ожиданием (i,j) и дисперсией s²(i,j).Поскольку продолжительность каждой работы рассматривается как случайная величина, то и все остальные параметры (ранние и поздние сроки наступления событий, начала и окончания работ, резервы времени событий и работ) имеют вероятностный характер и являются некоторыми усредненными величинами.

Вероятностная сетевая модель ТЭП так же, как и детерминированная, характеризуется параметрами работ, событий и путей, а их расчет осуществляется как и расчет соответствующих параметров детерминированных сетевых графиков. Дополнительно к этим параметрам при анализе вероятностных сетевых моделей вычисляются оценки дисперсии сроков наступления событий, служащие мерой их возможного разброса, а также вероятности наступления события в заданные (плановые) сроки.

При этом в сетевом планировании в условиях неопределенности на практике априори принимается, что распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодальностью, т.е. наличием единственного максимума у кривой распределения; в) двумя точками пересечения кривой распределения с осью абсцисс, имеющими неотрицательные абсциссы.

Анализ большого количества статистических данных по результатам эксплуатации ВВТ (хронометражи времени реализации отдельных работ, нормативные данные и т.п.) показывает, что в качестве априорной оценки работ ТЭП можно использовать - распределение (рис. 13).

Установлено, что распределение продолжительности работ обладает положительной асимметрией, т.е. максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, более круто поднимается при удалении от минимального значения t и полого опускается при приближении к максимальному значению t. Простейшим распределением с подобными свойствами и является известное в математической статистике - распределение.

Плотность -распределения выражается формулой:

(2.24)

где B(p,q) – b-функция;

– параметры b-распределения.

При расчете числовых характеристик и этого закона распределения на основании экспертных оценок определяют три временных показателя продолжительности работы t(i,j) (см. рис. 13):

а) оптимистическую оценку t_o(i,j), т.е. продолжительность работы (i,j) при самых благоприятных условиях (t_min);

б) пессимистическую оценку t_п(i,j), т.е. продолжительность работы (i, j) при самых неблагоприятных условиях (t_max);

в) наиболее вероятную оценку t_нв(i,j), т.е. продолжительность работы (i,j) при нормальных условиях.

Предположение о - распределении продолжительности работы (i,j) позволяет получить следующие оценки ее числовых характеристик:

(2.25)

(2.26)

Эти формулы нашли наиболее широкое применение в практике расчета вероятностных сетевых графиков. При этом чем больше разброс между оптимистической и пессимистической оценками, т.е. чем шире размах распределения, тем больше неопределенность, связанная с рассматриваемой работой.

Следует отметить, что обычно специалистам сложно оценить наиболее вероятное время выполнения работы t_нв(i,j). Так опыт показывает, что задание оценок t_min, t_max, как правило, не вызывает больших затруднений, а оценка t_нв(i,j) обычно производится либо с большой погрешностью, либо вообще не делается. При этом многочисленные эмпирические исследования показали, что параметры -распределения p и q, определенные для большинства работ, концентрируются около постоянных значений . Эти значения были приняты в качестве стандартных степенных показателей, и тем самым был построен закон распределения с плотностью, зависящей лишь от двух параметров:

(2.27)

Поэтому на практике используется упрощенная (и менее точная) оценка средней продолжительности работы (i,j) на основании лишь двух задаваемых граничных временных оценок t_o(i,j) и t_п(i,j):

(2.28)

(2.29)

Таким образом, полученные аналитические зависимости оценки параметров распределения на основании двух задаваемых временных оценок требуют от исполнителя задания только двух параметров - оптимистическую и пессимистическую оценки продолжительности выполнения работы.

Однако следует заметить, что распределение (2.27) хорошо согласуется с распределением времени таких операций технологических эксплуатационных процессов, для которых условия их реализации благоприятны и стабильны, а материально-техническое обеспечение хорошо организовано и в процессе участвует высококвалифицированный обслуживающий персонал.

Для процессов, условия реализации которых меняются (нестационарные условия эксплуатации), как из-за климатических изменений, так и перебоев в снабжении материально-технических средств и ЗИП, низкого уровня квалификации исполнителей, снижения показателей безопасности и т.п., сдвиг вершины распределения времени выполнения операций будет происходить в сторону пессимистической оценки (граничной точки t_max). Следовательно, использование формулы (2.27) для таких операций неоправданно, так как будут значительные погрешности в расчетах.

-распределение не является единственным вероятностным законом, удачно аппроксимирующим распределение времени выполнения работ сетевого графика ТЭП. Так на основе эмпирического анализа статистических данных была доказана пригодность и других распределений, которые приведены в табл. 2.

Таблица 2