Решение задач

Задача 1. В эффекте Мессбауэра используется рентгеновское излучение возбужденных ядер изотопа железа 57Fe. Причем оказывается, что ширина линии излучения равна всего 10-5эВ. Чему равно среднее время жизни возбужденного ядра этого изотопа? Оцените длину цуга волны амплитуды вероятности излучаемого фотона.

Решение. Размытость линии означает величину неопределенности энергии излучаемого фотона или неопределенности энергии возбужденного состояния. В соответствии с принципом неопределенностей DEgDt~ћ, где Dt - время жизни изотопа в возбужденном состоянии. Dt~ћ/DEg=1,05×10-34/10-5×1,6×10-19»6,56×10-11c.За это время фронт цуга волны амплитуды вероятности уйдет от ядра на 2 см. Это и есть длина цуга волны амплитуды вероятности.

Задача 2. В экспериментах по рассеянию отрицательных пионов p-на протонах обнаружили, что при кинетических энергиях налетающих пионов, лежащих в интервале от 130 МэВ до 250 МэВ(на рисунке по оси абсцисс отложены значения полной энергии налетающего пиона), возникает резонансное рождение пары - нейтральный пион и нейтрон. Физики интерпретировали этот факт, как рождение новой частицы (D0-частица), которая после рождения распадается на нейтральный пион и нейтрон. Оцените по приведенным данным среднее время жизни новой частицы.
Дополнительное задание. Оцените инвариантную массу D0-частицы.

Решение. Обратим внимание на то, что рождение пары из распадающейся частицы происходит так же, как рождение фотона при распаде возбужденного состояния атома. Из данных задачи следует, что неопределенность энергии промежуточной частицы равна DE=120 МэВ. Время жизни D0-частицы Dt~ћ/DE=1,05×10-34/1,2×108×1,6×10-19»5,47×10-24c. За это время фотон успеет переместиться на (~1,6×10-15м). Расстояние имеет порядок диаметра протона. Столь мало живущие частицы называют резонансами. Единственным средством опознать и определить хотя бы некоторые физические характеристики таких частиц являются эксперименты по исследованию резонансного рассеяния.

Дополнительное задание. Дополнительное задание полезно в качестве повода для повторения релятивистской динамики. Кроме того, оно полезно в общеобразовательном плане. Пусть Ep- полная энергия налетающего пиона, тогда инвариантная масса пары частиц (налетающий пион и протон) равна
.
Раскроем скобки под радикалом и учтем, что . Тогда

Полная энергия пиона равна сумме кинетической энергиии mpc2: Ep=E_кин+ mpc2Так что уравнение (2) можно переписать так
Mc2= (3)
При расчетах использовалось наиболее вероятное значение кинетической энергии налетающего пиона - 190 МэВ.

Задача 3. В ядре тяжелого водорода протон и нейтрон удерживаются силами ядерного притяжения на расстоянии около 10-15м. Проведите рассмотрение состояния протона и нейтрона как локализацию частицы приведенной массы в области размером 10-15м. Используя принцип неопределенностей и учитывая факт устойчивости ядра, сделайте оценку ядерных сил, удерживающих его от распада.

Задача 4.Атомы водорода в молекуле водородаудерживаются ковалентной связью. Физический механизм этой связи можно пояснить с помощью принципа неопределенностей. Электрон в изолированном атоме локализован в области размером 10-10м. При сближении двух атомов электроны получают возможность перескакивать от атома к атому. При этом размер области их локализации увеличивается, и соответственно неопределенность импульса, а вместе с ней и кинетическая энергия электрона уменьшаются. Используя эту модель, оцените энергию связи атомов в молекуле водорода, если при сближении атомов размер области локализации электронов увеличивается в два раза.