Кусочно-линейная интерполяция

На каждом интервале интерполирующая функция является линейной . Значения коэффициентов и находятся из выполнения условий интерполяции на концах отрезка : , . С помощью этих условий получаем систему уравнений:

,откуда находим , . Следовательно, функцию можно записать в виде:

, если , т.е.

.

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение , а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция является непрерывной, но ее производная разрывна в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно-постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приведена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Кусочно-линейная интерполяция

ПРИМЕР 3.1Заданы значений некоторой функции:

				3,5
	-1	0.2	0,5	0,8

Требуется найти значение функции при и при помощи кусочно-постоянной и кусочно-линейной интерполяции.

Решение. Точка принадлежит первому отрезку , т.е. и, следовательно, по формулам левой кусочно-постоянной интерполяции , по формулам правой кусочно-постоянной интерполяции . Теперь воспользуемся формулами кусочно-линейной интерполяции:

, ,

и тогда .

Точка принадлежит третьему интервалу , т.е. и, следовательно, по формулам левой кусочно-постоянной интерполяции , по формулам правой кусочно-постоянной интерполяции . Воспользуемся формулами кусочно-линейной интерполяции:

, , и .