УДК 531. 535

Разветвлённая электрическая цепь всегда имеет узлы,т.е. точки, в которых сходятся три или большее число проводников. На приведённом рисунке имеется четыре узла, которые обозначены буквами A,B,C,D. Важным является то, что в разных проводниках, сходящихся в узле, силы токов могут быть различными, т.е. при прохождении узла, сила тока меняется. Участок цепи, расположенный между двумя соседними узлами, называется ветвью. Мостик, изображённый на рисунке, имеет 5 ветвей это отрезки AB,BC,CD,BD,AD. Очевидно, что ветвь является неразветвлённым участком цепи, поэтому сила тока во всех элементах ветви имеет одно и то же значение. Строго говоря, это является следствием стационарности распределений потенциала цепи и силы тока. Действительно, поскольку сила тока даёт заряд, протекающиё по проводнику за секунду, для того, чтобы заряд в точке ветви не накапливался, необходимо, чтобы ток, подходящий слева, был равен току, утекающему справа. Условие стационарности потока встречается в разных разделах физики, например в гидродинамике оно приводит к тому, что масса жидкости втекающая в неразветвлённый участок трубы равна массе вытекающей, что вполне аналогично сказанному про ветвь электрической цепи. Аналогия может быть продолжена и на другие аспекты настоящей работы. Если её развить, то можно буден рассчитывать течение жидкости по разветвлённой системе труб просто меняя обозначения величин в формулах настоящего пособия.

Заметим также, что ветви моста AB, BC, AD, DC в литературе называют плечами мостика, а ветвь BD – перемычкой. Мостик называется сбалансированным, если ток через перемычку обращается в ноль. Баланс имеет место, если сопротивления плеч моста подчиняются определённому соотношению, которое будет получено далее. В согласованном мостике перемычку можно удалить, поскольку ток через неё отсутствует, поэтому вместо сбалансированного мостика получим две параллельных ветви A-B-C и A-D-C , а расчёты для этого случая заметно упрощаются.

Разветвлённая электрическая цепь имеет контуры (так называют замкнутый участок цепи). На рис. 1 имеются три контура: ABDA, BCDB, ABCDB. Для контуров удобно записывать баланс работы электрических и сторонних сил, поскольку при обходе конура разность потенциалов обращается в ноль.

Вывод расчётной формулы.

Мостик Уитстона подключают к источнику постоянного тока согласно рис.2, на котором вместо сопротивления R₅ в перемычке изображён гальванометр с внутренним сопротивлением R_г, позволяющий непосредственно измерять электрический ток и судить о сбалансированности моста.

Произведем полный расчёт данной разветвлённой цепи, применяя правила Кирхгофа (см. Приложение). Будем считать, что все сопротивления и ЭДС известны, а задача состоит в нахождении всех токов. Из общих выражений будет следовать также условие балансировки моста, которое можно получить короче. При применении правил желательно действовать по следующей программе.

1. Расставляем стрелки - направления токов в ветвях и вводим для них обозначения (это сделано на рис. 2).

2. Применим первое правило Кирхгофа для N-1 узла цепи. На схеме число узлов N=4, поэтому мы запишем три уравнения для узлов A,B,D:

Рис. 2 Подключение мостика к

источнику тока

Заметим, что если сложить правые и левые части этих уравнений, получим уравнение, которое могло быть получено для узла С при помощи первого правила Кирхгофа. Это означает, что уравнение для одного из узлов не является линейно независимым и его использовать не нужно.

Поскольку в нашей задаче 6 неизвестных токов, нам необходимо для её решения ещё 3 независимых уравнения, которые могут быть получены для контуров с использованием второго правила Кирхгофа.

3. Выберем контуры ABDA, BCDB, ABCA, а также направление их обхода - по часовой стрелке (в порядке следования букв). Для независимости уравнений важно, чтобы каждый контур имел ветвь, которую не содержат другие, поэтому замена третьего контура на контур ABCDA, содержащий те же ветви, что и первые два контура, была бы некорректной! Применение второго правила Кирхгофа приводит к уравнениям:

Решая систему уравнений (1)-(6), можно найти токи во всех ветвях по известным сопротивлениям и ЭДС. В других постановках задачи полученные соотношения также могут быть использованы для определения других неизвестных величин, если некоторые токи известны. Решение полученной системы можно компактно записать, используя метод решения Крамера. Если расположить неизвестные в следующем порядке (I₁, I₂, I₃, I₄, I_г, I), определитель Δ матрицы полученной системы шести уравнений примет вид:

.

В раскрытом виде это выражение представляет собой сумму большого числа положительных слагаемых, поэтому никогда не обращается в ноль ( что является следствием линейной независимости уравнений). Выражение для тока I_г (пятая неизвестная) может быть получено, если взять опрелитель матрицы системы с заменённым пятым столбцом на столбец свободных членов и поделить этот определитель на Δ:

Из полученного выражения видно, что ток через гальванометр обращается в ноль, если сопротивления мостика удовлетворяют условию:

Полученное условие балансировки мостика, используется в данной лабораторной работе для определения величины неизвестного сопротивления. Формула (7) позволяет вычислить силу тока в отсутствие баланса и также может быть использована для измерений. Она, с учётом рис. 2 в частности показывает, что ток направлен в направлении стрелки (т.е. от узла B к узлу D), если выражение в скобке положительно и в противоположную сторону, если скобка имеет отрицательное значение.

Формулу (8), как указывалось ранее, быстрее можно получить из формул (2)-(5), сразу положив в них I_г=0. При этом из формул (2)-(3) следует, что I₁= I₂ ,

I₃= I₄, ас учётом этого формулы (4)-(5) принимают вид:

В результате деления правых и левых частей этих равенств получаем условие (8).

Заметим, что условие (9), означает, что падение напряжения на сопротивлениях R₁ и R₃ одинаковы, поэтому напряжение на гальванометре и его ток равны нулю. Значит условие (9) возможно написать и без правил Кирхгофа, гораздо быстрее, но для этого необходим опыт. Стандартный метод Кирхгофа иногда является громоздким, но всегда приводит к решению задачи без особых размышлений.

ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА

Общий вид экспериментальной установки, используемой в настоящей работе, показан на рис.3, на котором отмечены узлы схемы, соответствующие обо-

Рис. 3. Экспериментальная установка

значениям рис.2. В реальности источник ε представляет собой выпрямитель и находится под столом установки. Видим, что вместо сопротивления подключается неизвестное сопротивление , представляет собой магазин сопротивлений, на котором можно выставить различные величины, а сопротивления и конструктивно объединены и представляют собой реохорд – нихромовую проволоку длиной 50 см, по которой может перемещаться подвижный контакт (стрелочка на рис. 3). Передвижение контакта меняет длины отрезков проволоки l₁ (или AD)и l₂ (или DC), определяющие сопротивления R₃ и R₄ согласно формулам:

где ρ – удельное сопротивление, а S –сечение проволоки. С учётов сказанного, из выражения (8) можем получить формулу расчёта неизвестного сопротивления:

В схеме имеется кнопочный размыкатель K, препятствующий длительному протеканию тока по проводникам для предотвращения их заметного нагрева.

В качестве неизвестных используются два сопротивления, которые подключают в схему по очереди в первой и второй серии измерений, а в третьей и четвёртой сериях измеряется сопротивление двух последовательно и параллельно соединённых сопротивлений. Перед началом каждой серии измерений Вам необходимо проверить правильность собранной схемы и показать её учебному мастеру.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1) Проверить экспериментальную установку на предмет соответствия схеме представленной на рис. 3 и отсутствия повреждений. В том случае если имеются нарушенные контакты, их необходимо восстановить до подключения к сети. При более серьезных нарушениях (поломка приборов, обрывы проводов, и. т. д.) следует обратиться к преподавателю или лаборанту.

2) Подключить в качестве R_xпервое из неизвестных сопротивлений, надёжно прикрутив винтовые контакты. Произвести первую серию, состоящую из трёх измерений.

a) В первом измерении добейтесь баланса подбором величины сопротивления магазина R₂ при равных плечах реохорда l₁=l₂=0,25 м. Это удобно сделать, взяв искомую величину «в вилку». Для этого установить наибольшую цифру в старшем барабане магазина, а остальные барабаны на ноль и заметить направление отклонения стрелки прибора. Затем уменьшать цифру на старшем барабане, пока стрелка не отклонится в противоположную сторону. При найденной цифре на этом барабане повторить процедуру для барабана, имеющего следующую по старшинству цену деления, таким образом, увеличивая точность подбора R₂. Проделать эту операцию последовательно для всех барабанов, добиваясь максимальной точности подбора. Записать полученное значение в таблицу.

b) Изменить сопротивление магазина на несколько десятков Ом и добиться баланса, передвигая контакт реохорда. Записать полученное значение R₂ и значения l₁, l₂ в Таблицу 1. Повторить этот пункт, ещё раз изменив R₂.

c) Повторить пункт b), ещё раз изменив R₂.

3) Повторить измерения, описанные в пункте 2), подключив в качестве R_xвторое неизвестное сопротивление.

4) Подключите в качестве неизвестного сопротивления оба неизвестных сопротивления, соединённых последовательно. Проделать серию измерений, описанную в пункте (2) с этими сопротивлениями.

5) Проделать серию измерений, описанную в пункте (2) с двумя неизвестными сопротивлениями, соединив их параллельно.

6) Для каждого измерения вычислить R_x, для каждой серии из трёх измерений рассчитать среднее значение сопротивления R_cp.

7) Из формулы (8) получить формулу для вычисления погрешности и вычислить погрешность для каждой серии измерений.

8) Сравнить результаты непосредственного измерения последовательно и параллельного соединения сопротивлений с рассчитанными по формулам:

Сформулировать выводы.

Таблица 1

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1) Объясните физический смысл (определение) и свойства следующий основных понятий: электрический заряд, сила тока, плотность тока, разность потенциалов, ЭДС, падение напряжения (или напряжение на участке цепи), сопротивление, удельное сопротивление, узел, ветвь, контур. Если возникают затруднения, можно прочитать соответствующие разделы в методическом пособии [2] или более подробно в учебниках [3]-[4], имеющихся в библиотеке.

2) Убедитесь, что Вам известны следующие законы: закон Ома для участка цепи и закон Джоуля – Ленца (в интегральной и дифференциальной формах), обобщённый закон Ома (для участка цепи с ЭДС), закон Ома для замкнутой цепи, закономерности, связанные с полной или полезной мощностями и к.п.д. источника в замкнутой цепи, законы (правила) Кирхгофа.

3) Просмотрите вторые и третьи задачи во всех вариантах домашней контрольной работы в методическом пособии [2]. Постарайтесь решить те задачи, решения которых Вам не очевидны сразу после их прочтения. Все эти задачи взяты из задачника [5]. В задачнике есть ответы и даже краткие решения некоторых из этих задач. В случае затруднений советуем найти аналогичные задачи в «решебнике» [6] и проанализировать приведенные там решения. Следует сказать, что задачи в разных вариантах, как правило, аналогичны, поэтому многие из них можно будет не решать, поскольку решение будет аналогично уже рассмотренным задачам.

4) В какую сторону потечёт ток через гальванометр (вверх или вниз), если в сбалансированном мосте сопротивление магазина увеличить в 4 раза? На какое расстояние и в какую сторону нужно передвинуть ползунок реохорда, чтобы восстановить баланс (если было l₁= l₂)?

5) Определить полное сопротивление участка цепи между точками А и С (смотри рис.1) при следующих значениях:

a)

b)

c)

d)

Указание: определите ток чрез R₅ в этих случаях.

6) Более сложное задание для тех, кто претендует на высокую оценку. Определите полное (эффективное) сопротивление мостика при произвольных сопротивлениях его ветвей. Для получения численного ответа возьмите следующие значения (155/74 Ом):

Указание. Получите решение для I, аналогичное формуле (7) и сравните его с законом Ома для неразветвлённой замкнутой цепи, в которой мостик заменён эффективным сопротивлением.