Исследование знака корней квадратного уравнения

Рассмотрим такую задачу. Дано квадратное уравнение с параметром, нужно провести полное исследование знаков корней уравнения в зависимости от значений параметра. Здесь применяются два подхода: решение уравнения и использование формул Виета. Если дискриминант уравнения является полным квадратом, а старший коэффициент не зависит от параметра, то проще решить уравнение и исследовать знаки корней непосредственно.

1. Определить знаки корней уравнения в зависимости от параметра. Решение. Найдем дискриминант . Поскольку дискриминант является полным квадратом, то несложно решить это уравнение: Оба корня положительны, если . Оба корня отрицательны, если . Проверяем остальные промежутки: при , при , т. е. корни имеют разные знаки. В оставшихся точках, при , корни вычисляем: один корень равен нулю, а второй отрицательный. Нужно еще отметить, когда корни совпадают: , при этом кратный корень равен . Задача решена, но полезно рассмотреть геометрическую иллюстрацию. Изобразим на плоскости AОX прямые и (рис. 1). Всю информацию о знаках корней при различных значениях мы можем прочитать по чертежу: для данного значения мысленно проведем вертикальную прямую и отметим точки пересечения с прямыми и , их ординаты и являются корнями уравнения. По чертежу хорошо видно, что при и при один корень отрицательный, а другой положительный, при и при — один отрицательный, а другой равен нулю, при два различных отрицательных корня, а при — кратный отрицательный корень. Ответ: при и при корни разных знаков, при и при один корень отрицательный, а другой равен нулю, при два различных отрицательных корня, при кратный отрицательный корень.

Если же корни уравнения — иррациональные выражения, то непосредственное исследование их знака будет слишком громоздким. Поэтому исследование проводят с помощью формул Виета. Приведем схему такого исследования.

1) Если старший коэффициент зависит от параметра, то находим, при каких значениях параметра он равен нулю. Подставляем эти значения в уравнение и решаем полученное линейное уравнение. Определяем знак его корня.

2) Находим дискриминант уравнения и решаем неравенство . Таким образом, выясняем, при каких значениях параметра корней нет.

3) Рассмотрим значения параметра, при которых , т. е. корни совпадают. Нужно их найти и определить знак.

4) Рассмотрим значения параметра, при которых . Оба корня положительны тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительны. Оба корня отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно. Корни имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. Используя формулы Виета, составляем и решаем соответствующие системы.

5) Отдельно надо разобрать случай, когда один из корней равен нулю. Для этого подставляем в уравнение, находим значение параметра и второй корень.

Чаще в задачах нужна только часть такого исследования.

2. При каких значениях параметра уравнение имеет два различных положительных корня? Решение. Оба корня положительны тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительны. Чтобы корни существовали и были различны, потребуем, чтобы дискриминант был положителен. Получим систему . Ответ: .

3. При каких значениях уравнение не имеет положительных корней? Решение. При получаем , положительных корней нет. Найдем дискриминант уравнения . Значит, при уравнение не имеет никаких корней. Чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: сумма корней , а произведение корней . Составим систему . Если один корень равен 0, то и других корней нет. Значит, нужно объединить промежутки , где нет никаких корней, промежуток , где оба корня отрицательны, и точку 0, где один нулевой корень. Ответ: .

4. Определить знак корней квадратного уравнения . Решение.1) Рассмотрим случай . В этом случае получаем линейное уравнение , т. е. в этом случае имеется один положительный корень. 2) Пусть . Так как , то при корней нет. 3) При , получаем уравнение с отрицательным корнем и уравнение с положительным корнем . 4) Пусть . Оба корня положительны, если . Оба корня отрицательны, если выполняются условия . Корни разных знаков, если . 6) Пусть один корень равен нулю. Подставляя в уравнение, получаем . Само уравнение приобретает вид . Значит, второй корень отрицательный. Ответ: при корней нет, при отрицательные корни, при один корень отрицательный, второй равен нулю, при корни разных знаков, при корни положительны.