Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины

Непрерывные случайные величины.

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина X(w),заданная в вероятностном пространстве {W,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения F_X(x) можно представить в виде интеграла

.

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей.

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1. Плотность распределения неотрицательна: .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

.

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

.

 

 

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F_X(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения , отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события {X<x} вычисляется так:

так как плотность X на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения

Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,