C5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых имеет место единственное решение система

 

Каждое уравнение системы – это уравнение окружности

Первое – это уравнение окружности с центром (2a+5;3a - 5) и R=4

Второе - это уравнение окружности с центром (a+2;2a - 1) и R=9

Две окружности имеют одну общую точку (решение системы), когда они касаются внешним или внутренним образом.

Если касаются внешним образом, то расстояние между центрами будем

равно d=4+9=13

R1

R2

 

 

Квадрат расстояния между двумя точками

(; 2)

Решая квадратное уравнение, получаем

При касании внутренним образом

d = 9-4=5

R2

R1

 

 

С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно четыре решения

Так как область определения x > 0 , то выполнено будет тождество для x > 0

Сделаем замену переменной

Будем рассматривать две функции

левая часть уравнения

правая часть уравнения

Рассмотрим случаи a > 0, a<0 и a=0

1) a>0

 

Построим график функции f(t)

для a>0

Для t рассмотрим промежутки

А)

Б)

В)

 

А)

Б)

В)

 

Графиком функции будет ломаная линия, состоящая из двух лучей

( и и отрезка

Вершины данной линии, при различных а, будут лежать

на прямых : для вершины соединяющей луч и отрезок

 

в точке с координатами (-2а; 5а)

Уравнение прямой будет

(синяя пунктирная линия)

 

для вершины соединяющей луч и отрезок

 

в точке с координатами (а/2; -3/2а)

Уравнение прямой будет

(черная пунктирная линия)

 

График функции будет известная всем, кто читает этот материал, парабола.

 

 

По графику видно, что уравнение будет иметь 4 корня когда

Прямая f(t)=t-3a будет пересекать параболу в двух точках

Уравнение имеет два корня

С учетом условия, что мы рассматриваем случай a>0

Получаем

2) a < 0

Построим график функции f(t) для a<0

для a < 0

Для t рассмотрим промежутки

А) Б) В)

 

А)

Б)

В)

для вершины соединяющей луч и отрезок

 

в точке с координатами (а/2; 5/2а)

Уравнение прямой будет

(синяя пунктирная линия)

 

для вершины соединяющей луч и отрезок

 

в точке с координатами (-2а; -5а)

Уравнение прямой будет

(черная пунктирная линия)

По графику видно, что уравнение будет иметь 4 корня когда

Прямая f(t)=-t+3a будет пересекать параболу в двух точках

Уравнение имеет два корня

С учетом условия, что мы рассматриваем случай a<0

Получаем

 

3) a = 0

Только 3 корня

Ответ :

В пособиях приведено много задач подобной данной:

рассмотрим некоторые из них