Предельные теоремы в схеме Бернулли

При рассмотрении числовых примеров при больших значениях и вычисление вероятностей превращается в технически сложную задачу. Рассмотрим теоремы, которые помогут нам преодолеть эту проблему, предоставляя в руки приближенные формулы для биномиальных вероятностей при достаточно больших значениях .

Теорема 2.1. (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа) Обозначим в схеме Бернулли , , . Тогда если при и , где - произвольная постоянная, то , где .

Из этой теоремы непосредственно следует приближенная формула . Данная аппроксимация наиболее хороша при . Практически можно считать, что данная замена дает хорошее приближение если .

Функция называется функцией Гаусса. Ее значения табулированы, т.е. занесены в таблицу, которая приведена практически во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей, в частности ее значения можно найти в приложении (Таблица 1).

При работе с таблицей значений функции Гаусса необходимо учитывать ее свойства:

- функция Гаусса является четной;

При больших значениях имеем: , т.е. при больших , практически при , .

Пример 2.1. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.

Решение. Итак, по условию задачи , , и . Так как , то применима локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Имеем , , , по таблице 1 находим , тогда искомая вероятность равна

Ответ. 0,0797.

Теорема 2.2. (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа) Обозначим в схеме Бернулли , , . Тогда если при и , где - произвольная постоянная, тогда при справедливо ,

Таким образом, справедлива приближенная формула

,

здесь .

Эта формула, также, дает приемлемое приближение при .

Функция не выражается в элементарных, но в таблице 2 приложения приведена ее таблица значений. При использовании данной таблицы необходимо помнить свойства функции

1. При .

2. При больших ( ) значения практически равны 1.

3. При малых ( ) значения практически равны 0.

Так же отметим, что часто вместо функции используют функцию Лапласа . Ее свойства

1. , функция Лапласа четная .

2. При , , связь между и .

Пример 2.2. В продукции некоторого производства брак составляет 12%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 200 штук. Найти вероятности событий:

а) А – наудачу взятая коробка содержит 20 бракованных изделий;

б) В – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.

Решение. В условиях задачи , и . Так как , то применимы предельные теоремы Муавра-Лапласа. Вычислим , .

а) . По таблице 1 находим . Следовательно, согласно локальной теореме искомая вероятность равна .

б) .

По таблице 2 находим . Следовательно, по интегральной теореме имеем

.

Ответ. а) 0,059, б) 0,1913.

Пример 2.3. Оценить близость частоты и вероятности в схеме Бернулли.

Решение. Пусть – вероятность успеха в схеме Бернулли и - число успехов в испытаниях. Частотой успеха называется отношение .

Оценим вероятность события . Если достаточно велико, то по интегральной формуле Муавра-Лапласа имеем:

Часто возникает обратная задача: сколько нужно провести испытаний, чтобы частота отличалась от вероятности не больше, чем на с вероятностью ?

Если считать известным, то из последнего равенства следует

. Решая его, получим, что наименьшее определяется соотношением

.

Часто в таких задачах является неизвестным. В этом случае можно воспользоваться неравенством .

Тогда

,

или

.

Пример 2.4. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. .

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае: – неизвестно, , . Тогда или . Используя таблицу 2 получим уравнение , решая которое, получим . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Ответ. 62 места.

При большом числе испытаний и малой (большой) вероятности локальная теорема Муавра-Лапласа становится не применимой. В этом случае может помочь следующее утверждение.

Теорема 2.3. (Теорема Пуассона) Пусть в схеме Бернулли при , причем так, что , где . Тогда для любого .

Формула дает удовлетворительное приближение для и . События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала.

Пример 2.5. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

Решение

В условии задачи , , . Заметим, что , поэтому следует пользоваться теоремой Пуассона. В нашем случае , следовательно .

Ответ. 0,156.

2.2. Задания для аудиторной работы.