Du – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить

.

В нашем случае v=100 м/с; Δv=10 м/с; наиболее вероятная скорость v=(2RT/pm)^1/2=376 м/с. Следовательно, u=v/v_в=100/376, u²=0,071; Du=10/376; exp(–u²)=0,93.

Тогда

Ответ:ΔN/N=0,4%.

Задача 3

Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью v_o, затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа, двухатомного газа? Газ считать идеальным.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией

.

Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором они участвуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоро превратится в хаотическое.

Пренебрегая теплообменом между газом и стенками сосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что «исчезнувшая» кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движений молекул (приросту внутренней энергии DU):

W_к=DU.

Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:

,

где m – масса молекулы;

N – число молекул в сосуде.

Имеем

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении

DU=U₂-U₁= M[v²_кв2-v²_кв1],

где v_кв1,v_кв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.

Подставив в уравнение W_к=DU значения W_к и DU, получим первый ответ

v²_кв2–v²_кв1=v₀².

Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул. При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две – на вращательное. В соответствии с законом о равномерном распределении энергии по степеням свободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличение энергии поступательного движения молекул и две пятых – на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, имеем:

.

Из последнего соотношения получим второй ответ:

.

Ответ: 1) ; .

Задача 4

Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К .

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул DN , относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + Du:

где N – полное число молекул газа;

– функция распределения Максвелла;

u=v/v_в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v_в – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии Du<u. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать v=v_в. Следовательно, u=v/v_в=1 и выше написанное уравнение примет более простой вид:

.

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Du:

Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие Du<u. Так как u=v/v_в , то Du=Dv/v_в.

Чтобы вычислить Du , найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:

:

v_в1=2×8,31×400/0,002=1,82×10³ м/с,

v_в2=2×8,31×900/0,002=2,73×10³м/с.

Подставляя эти значения v_в и имея в виду, что Dv=10 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от v_в=--5,0 м/с до v_в=5,0 м/с, получим:

Du₁₌1/182, Du₂=1/273.

Так как u=1, видим, что условие Du<u выполняется для обеих температур.

Теперь найдем

DN₁/N=4/((3,14)^1/2×2,7×182)=0,0046,

DN₂/N=4/((3,14)^1/2×2,7×273)=0,0030.

Таким образом, при увеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.

Ответ: DN₁/N=0,0046, DN₂/N=0,0030.

Задача 5

Какая часть молекул газа имеет скорости превышающие наиболее вероятную?

Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости v до v+Dv, т.е. в бесконечно большом интервале скоростей. Таким образом, условие применимости закона распределения скоростей, заключающееся в том, что Du<u, или Dv<v, здесь не выполняется. Поэтому от уравнения в форме:

надо перейти к дифференциальной форме этого закона

Полное число DN молекул, относительные скорости которых лежат в заданном интервале от u₁ до u₂, найдем, интегрируя правую часть в этих пределах: