Индивидуальные задания

1. Решите задачу из задачника [2] (ПК-1, ПК-3, ПК-21 ) № 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,7; 4,8; 4,10; 4,11; 4,12

Тема № 6 «Свободные гармонические колебания. Затухающие и вынужденные колебания.»

Вопросы для самостоятельного изучения

(см. вопросы к гл.27, 28[1] и гл. 5 [7] )

Задания

Общие

1. Составьте глоссарий по изучаемой теме. Включите в него следующие и другие (самостоятельно подобранные по данной теме) термины: амплитуда, период, частота, циклическая частота, начальная фаза гармонических колебаний. (ОК-1, ПК- 19 )

2. Изучите и запомните следующие формулы(ПК-1, ПК-19 )

Наименование величины или физический закон	Формула
Стандартное дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки
Решение этого уравнения – смещение точки от положения равновесия в любой момент времени
Связь периода и циклической частоты
Квадрат циклической частоты свободных колебаний для шарика на пружине (1), математического маятника (2) и физического маятника (3)	(1) (2) (3)
Дифференциальное уравнение колебаний с трением (затухающих)
Решение этого уравнения – смещение точки от положения равновесия в любой момент времени (затухающие колебания).
Циклическая частота затухающих колебаний
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с трением
Результирующая амплитуда вынужденных колебаний с трением.

3. Разберите самостоятельно следующие задачи (ОК-1, ПК-1, ПК- 3, ПК-19 )

Задача1.

Точка совершает гармонические колебания с частотой 10Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: x_max=1 мм. Написать уравнение колебаний точки.

Решение. В общем виде уравнение гармонических колебаний точки можно записать в виде

x=A×sin( w₀t+j₀₁)

или

x=A cos(2pn₀t+j₀₂),

где А – амплитуда колебаний;

w₀ – циклическая частота;

t – время;

j₀₁, j₀₂ – начальные фазы.

По определению, амплитуда колебаний A= x_max. Циклическая частота w связана с частотой n₀ соотношением w₀=2pn₀.

Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. В момент времени t=0 уравнения гармонических колебаний примут вид

x_max=A×sin j₀₁

или

x_max=A×cosj₀₂,

откуда начальные фазы колебаний

;

или

;

где k=0,1,2,.....

Изменение фазы на 2p не изменит состояние колебательного движения, поэтому можно принять k=0, тогда j₀₁=p/2, а j₀₂ =0.

С учетом полученных результатов, уравнения колебаний примут вид

или

Задача 2.

Материальная точка массой 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x=0,2×sin8pt. Найти возвращающую силу в момент времени t=0,1с.

Решение. Так как материальная точка совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением:

F_в=-kx,

где k – коэффициент квазиупругой силы;

x=0,2×sin8pt – смещение колеблющейся точки.

Коэффициент k выразим через круговую или циклическую частоту:

k=mw².

Подставив значения x и k в формулу возвращающей силы, будем иметь

F_в₌mw²x=mw²A×sinwt.

Проверив размерности левой и правой частей уравнения, подставив численные значения, произведем вычисления:

F=0,01×64×3,14²×0,2×sin(0,8×3,14)= 0,75Н.

Ответ: F=0,75Н.

Задача 3.

Диск радиусом 10 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период и частоту колебаний такого физического маятника.

Решение. Такой диск можно рассматривать как некоторый физический маятник. Физический маятник – твердое тело, способное совершать колебательное движение относительно оси, на которой оно подвешено, при этом ось колебаний не проходит через центр тяжести.

Уравнение движения физического маятника имеет вид:

где m – масса физического маятника;

I – его момент инерции относительно оси колебаний;

l –расстояние между осью колебаний и параллельной ей прямой, проходящей через центр тяжести;

j – угол отклонения маятника от положения равновесия.