Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

 

Умножим векторно левую и правую часть уравнения (2) на радиус-вектор :

(8)

где - момент k-той внешней силы относительно центра 0.

- момент k-той внутренней силы относительно центра 0.

 

Преобразуем левую часть уравнения (8):

 

(9)

доказательство последнего равенства:

 

выражение (10) - называется моментом количества движения k-той точки относительно центра 0 или кинетическим моментом k-той точки относительно центра.

Если мы просуммируем это (10) равенство по всем точкам то получим:

(11) - кинетический момент механической системы.

 

Суммируя уравнения системы сил (8) по всем материальным точкам, с учётом в его (8) левой части равенства (9), имеем:

(12)

 

где:

- главный момент всех внешних сил, действующих на систему

- главный момент всех внутренних сил,который всегда равен 0.

С учётом последних двух равенств, определяющих главные моменты внешних и внутренних сил, уравнение (12) принимает вид

Теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра:

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого центра геометрически равна Главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно этого же центра.

(III)

Кинетический момент относительно произвольной оси (скалярная величина) равен проекции вектора кинетического момента относительно полюса, лежащего на этой оси. Тогда справедливо следующее соотношение между кинетическими моментами относительно оси и полюса для материальной точки:

И для системы материальных точек:

Момент количества движения материальной точки можно получить в аналитической форме разложением определителя векторного произведения: , тогда определитель момента количества движения материальной точки: .

Разложим определитель на проекции по осям декартовых координат:

или

Векторному равенству (III) соответствуют три дифференциальных равенства в проекциях на оси координат:

, где кинетические моменты механической системы относительно осей координат, а главные моменты внешних сил относительно осей координат. Эти уравнения показывают, что:

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна Главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно этой оси.

Закон сохранения кинетического момента механической системы:

Закон состоит из двух следствий из теоремы:

Следствие 1:

Если Главный момент внешних сил относительно некоторого центра все время остается равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.

Если то и

Это следствие можно выразить и в такой форме:

Если линия действия Главного вектора внешних сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.

 

Следствие 2: