Введение

 

При изучении различных разделов техники, физики, экономики и других встречаются величины, которые вполне характеризуются заданием их численных значений. Такие величины называются скалярными (от слова "скаляр" – число). К скалярным величинам относятся, например, длина, площадь, объем, температура. Существуют, однако, и такие величины, для определения которых задание лишь численных значений недостаточно. Необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются векторными. К векторным величинам относятся, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Векторные величины геометрически изображаются с помощью направленного отрезка – вектора.

 

1. Векторы, линейные операции над векторами

 

Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Вектор может обозначаться либо двумя большими буквами , где А – начало, а В – конец вектора; либо одной маленькой буквой с чертой или стрелкой наверху.

Вектор , у которого начало – в точке В, а конец – в точке А, называется противоположным вектору .

Длиной или модулем называется число, равное длине отрезка АВ.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . У нулевого вектора начало и конец совпадают и он имеет произвольное направление (иногда говорят, что, наоборот, нулевой вектор направления не имеет).

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .

Выберем в пространстве какую-либо точку О, которую назовем началом координат, и проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси. На каждой оси из точки О проведем единичные векторы.

Ось с выбранным началом отсчета и выбранной единицей длины называется координатной осью, а упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве:

 

 

 

 

Координатные оси называются: Ох – ось абсцисс; Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат.

Единичные векторы, выходящие из начала координат и расположенные на координатных осях, называются координатными ортами.

Проведем в пространстве вектор и опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на оси координат, получим проекции этого вектора на соответствующие оси.

Координатами вектора называются его проекции на оси координат.

 

Координаты вектора записываются, в отличие от координат точки, в фигурных скобках

Вектор может быть записан через координатные орты, а именно

Формула называется разложением вектора по координатным ортам.

Длина или модуль вектора вычисляется по формуле

Пусть заданы координаты начальной и конечной точек вектора и . Тогда вектор имеет следующие координаты:

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

 

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства. Отсюда следует, что два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства их одноименных координат, т.е.

Над векторами можно проводить определенные операции, самыми простыми из которых являются линейные.

К линейным операциям над векторами относятся сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Сами линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами этих векторов.

 

Пусть даны два вектора и .

Суммой векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме одноименных координат складываемых векторов, т.е.

.

Произведением числа a на вектор (или вектора на число) называется вектор, координаты которого являются произведением числа на координаты данного вектора, т.е.

.

Нетрудно понять, что вектор a коллинеарен вектору , имеет длину и направление, совпадающее с направлением вектора , при положительном a и противоположным направлению вектора , при отрицательном a.

Разность двух векторов можно определить аналогично сумме, т.е. как вектор . Однако разность также можно представить как сумму вектора и вектора , умноженного на (-1).

 

Выясним условие коллинеарности векторов, заданных своими координатами. Так как , то можно записать , где a - некоторое число. Таким образом, для координат этих векторов будет выполнено условие:

Отсюда или , т.е. справедливо следующее утверждение.

 

Теорема (необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов). Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т.е.

.

Кроме линейных операций существуют понятия различных произведений векторов: скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведения векторов. Рассмотрим только скалярное произведение.

 

2. Скалярное произведение векторов и его свойства

 

Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое по формуле:

,

где a - угол между векторами.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. - переместительный закон.

2. - сочетательный закон.

3. - распределительный закон.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: , в частности .

 

С помощью понятия скалярного произведения можно получить условие ортогональности векторов.

 

Теорема (необходимое и достаточное условие ортогональности векторов). Два ненулевых вектора и ортогональны в том и только в том случае, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.

.

Из теоремы, в частности следует, что все скалярные произведения разных координатных орт равны нулю, т.е.

 

.

Если векторы заданы своими координатами, то скалярное произведение определяется как сумма произведений одноименных координат, т.е.

Формула легко получается, если векторы и разложить по координатным ортам, т.е. представить в виде и , а затем перемножить по правилу умножения многочленов. Окончательно получаем формулу, используя следующие вышеприведенные равенства:

Пусть два вектора заданы своими координатами и . Тогда угол между этими векторами можно определить по следующей формуле:

 

.

Отсюдаследует, что условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом:

.