Определение модуля числа и его применение при решении уравнений

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины – модуля. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово, имеющее множество значений, применяется не только в математике, но и в физике, архитектуре, технике, программировании и других точных науках.

Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных вариантов, так как в подавляющем большинстве задач одно уравнение или неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких уравнений и неравенств, освобожденных от знака модуля.

В этой главе мы систематизировали информацию о модуле и рассмотрели некоторые методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на числовой оси.

Модуль числа обозначают символом .

Другими словами, геометрически означает расстояние на числовой оси от начала отсчета до точки, изображающей число .

Если , то на числовой оси существует две точки и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если , то на числовой оси изображают точкой .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, уравнение описывает множество точек, удаленных от начала отсчета на расстояние 3. Это точки

Ответ. –3; 3.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, расстояние не может быть отрицательно. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Термин «модуль» ввел английский математик Р. Котес (1682 – 1716), знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841 г.

Иногда вместо термина «модуль» используют термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа.

Дадим алгебраическое определение модуля.

Определение. Модуль числа или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля:

Пример. В соответствии с приведенным определением , ,

Из определения модуля следует, что для любого действительного числа , .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: .

Ответ. –3; 3.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: . Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Теорема 6.Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел или .

Доказательство. Если число положительно, то число отрицательно, то есть . Отсюда, в силу транзитивности отношения «меньше», следует, что . В этом случае , то есть совпадает с большим из двух чисел и .

Если число отрицательно, тогда число положительно и , то есть большим числом является . По определению, в этом случае, − снова, равно большему из двух чисел и . Теорема доказана.

Следствие.Для любого действительного числа справедливо: .

Доказательство. В самом деле, как , так и равны большему из чисел и , а следовательно,, равны между собой.

Следствие.Для любого действительного числа справедливы неравенства , .

Доказательство. Умножим второе равенство на , изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим следующие неравенства: , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получим: .