Неравенство второй степени с одним неизвестным
(квадратное неравенство)
Определение. Неравенство вида , где , называют квадратным неравенством.
Чтобы решить квадратное неравенство вида , , достаточно узнать, при каких значениях график трехчлена находится в верхней полуплоскости, для чего необходимо вычислить дискриминант квадратного трёхчлена: .
Если , то данному неравенству удовлетворяют все числа, больше большего корня и меньше меньшего корня.
Рис.8
Если , то неравенству удовлетворяют все .
Если , то неравенству будут, удовлетворят все , кроме .
Неравенству , , при удовлетворяют все те значения , которые больше меньшего корня трехчлена, но меньше большего корня.
Если , то неравенство не имеет решений.
Пусть , – корни квадратного трехчлена.
Графическая иллюстрация решения неравенства представлена на рисунке 8.
Пример. Решим неравенство .
Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена , , квадратный трехчлен имеет два корня. Найдем корни, решив уравнение , . Исходное неравенство равносильно неравенству
Следовательно, множество решений неравенства есть множество .
Пример. Решим неравенство .
Решение. Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение , имеем .
График функции схематически изображен на рисунке 9. Очевидно, что при .
Рис.9 Рис.10
Пример. Решим графически неравенство: .
Решение. Рассмотрим функцию . Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Решив уравнение , находим нули функции: при . График функции схематически изображен на рисунке 10.
Очевидно, что при . Следовательно, множество решений неравенства есть отрезок .
Пример. Решим неравенство .
Решение. , . Коэффициент больше нуля, таким образом, решением неравенства является любое .
Ответ. .
Пример. Решим неравенство .
Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена . , , коэффициент больше нуля, следовательно, неравенство , не имеет решений.