Применение метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы.

В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.

Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.

Пример. Решим иррациональное уравнение:

Решение. Введем новую переменную. Пусть , , тогда:

По теореме, обратной теореме Виета, имеем: и

Но , следовательно, не удовлетворяет условию: .

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Ответ.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Введем новую переменную. Пусть тогда: .

Возвращаясь к исходной переменной, имеем: корней нет,

Ответ.

Пример. Решим уравнение: 7 .

Решение. Введем новую переменную. Пусть , тогда: ,

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

, или ,

или

Ответ.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Попытка перемножить скобки в левой части исходного уравнения приведёт к уравнению четвёртой степени, решение которого требует трудоёмких вычислений.

Введем новую переменную. Пусть: тогда: .

Раскрыв скобки, получим: .

Возвращаясь к исходной переменной, имеем: = или = - .

= или .

или корней нет.

. Ответ. .

В примерах, приведенных выше замена очевидна. Однако во многих случаях удобная замена далеко не так очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Тем самым выявим возможность применения метода замены неизвестного в нестандартных ситуациях.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Очевидно, что не является корнем уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на , имеем:

и, сделав замену получим:

Вернёмся к исходной переменной, имеем:

Ответ.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Выделим полный квадрат суммы:

Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:

, или

Введем новую переменную. Пусть тогда:

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Ответ.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Введем новые переменные. Пусть (1)

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку введены две новые функции, необходимо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные и . Для этого возведём оба равенства (1) в куб и заметим, что Решим систему:

Ответ.

В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Введем новые переменные.

Пусть , , тогда .

Если , тогда , следовательно, решений нет.

Разделим обе части уравнения на , получим: .

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим:

; ; ; .

Возвращаясь к исходным переменным, имеем:

или

корней нет.

Ответ.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Введем новые переменные.

Пусть , , тогда .

Найдем . Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим:

Возвращаясь к исходным переменным, имеем:

корней нет. ;

Ответ. ;

Пример. Решим уравнение:

Решение. Очевидно, что не является корнем уравнения.

Разделим обе части уравнения на выражение , получим:

. Введем новую переменную.

Пусть , тогда ;

; .

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

или

; ;

Ответ. ; ; ;

Пример.Решим уравнение:

Решение. Введем новые переменные. Пусть (2)

Тогда исходное уравнение примет вид

Составим ещё одно уравнение, зависящее от переменных и . Для этого найдём сумму:

Решим систему:

Ответ.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвёртой, в первой и третьей скобках, равны, то есть Перемножим эти пары скобок, получим:

Введем новую переменную. Пусть тогда:

Решим квадратное уравнение , получим: или .

Вернемся к исходной переменной и решим совокупность уравнений:

Ответ.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвёртой скобках, равны, то есть

Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение:

Поскольку – не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на Получим:

Введем новую переменную.

Пусть тогда: то есть

Отсюда . Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Первое уравнение совокупности имеет корни .

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Данное уравнение можно свести к однородному уравнению. Преобразуем первый множитель, выделив из него выражение, равное второму множителю, то есть

Подставляя последнее выражение в исходное уравнение, получим: и далее:

Введем новые переменные. Пусть и приведём последнее уравнение к виду . Это однородное уравнение второй степени относительно и . В нём . В самом деле, если , то уравнение приводится к виду , или

Но система решений не имеет.

Разделив обе части уравнения на , получим:

Отсюда

Ответ.

Иногда для решения уравнения вводят тригонометрическую подстановку. Рассмотрим пример.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Функция существует при любых значениях . Найдём область определения функции значит, . Введем замену или

Пусть . Необходимо исследовать все значения данной функции. Функция периодическая. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция принимает все свои значения, например отрезок

Подставив замену в уравнение, получим:

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Ответ.

Пример.Решим уравнение:

Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение и упростим левую часть исходного уравнения:

Введём замену: тогда уравнение примет вид:

, или

При дальнейших упрощениях получим:

Применим основное свойство дроби к левой части уравнения, разделив на : Введём вторую переменную. Пусть , тогда:

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Второе уравнение совокупности не имеет решений, первое имеет два корня которые и вынесем в ответ.

Ответ.

Уравнения вида и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Пример. Решим уравнение:

Решение. Введем новую переменную.

Пусть , тогда ; ; ; ;

или корней нет

;

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

или

Ответ. ;