Двойственная задача потребительского выбора

Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Теперь потребитель выбрал уровень полезности u* который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.

В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора). Графически эту задачу можно проиллюстрировать следующим образом:

На кривой безразличия, соответствующей выбранному потребителем уровню полезности u* отыскивается набор товаров с минимальной стоимостью.

Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:

Данная задача является задачей нелинейного программирования. Функция Лагранжа имеет вид:

дописать Лямбда

Запишем условия первого порядка:

Отсюда мы получаем условия первого порядка для решения двойственной задачи потребительского выбора.

т.к. лямбда это постоянное число

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя в двойственной постановке.

Решение двойственной задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Хикса:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и выбранного потребителем уровня полезности.

Пример

Пусть функция полезности потребителя имеет следующий вид: u(x_1,x₂)= x₁x₂

Сформулируем и решим двойственную задачу потребительского выбора. Пусть u* - выбранный потребителем уровень полезности, тогда двойственная задача будет иметь следующий вид:

В этом случае, предельные полезности товаров MU₁ = х₂, MU₂ = х₁

Условия первого порядка приобретают следующий вид:

=>

и, следовательно, функции спроса Хикса: