ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. Отв. 0,4.
2. События А, В, С и D образуют полную группу. Вероятности событий: P(A)=0.1; P(B)=0.4; P(C)=0.3. Чему равна вероятность события D? Отв. 0,2.
3. По статистическим данным ремонтной мастерской в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 - для смены резца; 3 - из-за неисправности привода; 2 - из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам. Отв. 0,25.
4. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 руб. каждая, три книги по одному рублю и две книги - по 3 руб. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 руб. Отв. 1/3.
5. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная. Отв. 44/45.
6. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали. Отв. 2/3 .
7. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. Отв. 0.729.
8. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: “появился герб”, “появилось 6 очков”. Отв. 1/12.
9. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта. Отв. 0,817.
10. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. Отв. 0,12.
11. В студии телевидения 3 камеры. Для каждой вероятность того, что она включена в данный момент, равна р=0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А). Отв. 0,936.
12. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Отв. 0,88.
13. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом №1 и 4 детали завода №2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом №1. Отв. 92/95.
14. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)? Отв. 91/216.
15. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет. Отв. 0,936.
16. Три командыА1, А2, А3 спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют матчи у команд общества В таковы: при встрече А1 с В1 - 0,8; А2 с В2 - 0,4; А3 с В3 - 0,4.Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее? Отв. Общество А.(р=0,544).
17. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком - 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком. Отв. 0,44 .
18. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие. Отв. а) 0,243; б) 0,0729.
19. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых и расположенных “в одну линию” кубиках можно будет прочесть слово “спорт”. Отв. 1/120.
20. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырёх вынутых по одной и расположенных “в одну линию” карточках, можно будет прочесть слово “трос”. Отв. 1/ 360.
21. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза. Отв. a)3/5, б)3/5, в) 3/10.
22. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз? Отв. п=2.
23. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же). Отв. 0,5.
24. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0,9, для велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. Отв. 0,86.
25. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик наудачу извлёк деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Отв. 0,84.
26. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором 30 – деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что на удачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная. Отв. 43/60.
27. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы. Отв. 0,875.
28. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. Отв. 13/132.
29. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой. Отв. 7/18.
30. В ящик, содержащий 3 детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике. Отв. 0,625.
31. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С1 или С11 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разладке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С1 или С11? Отв. Вероятность того, что автомат снабжён сигнализатором р(С1)=6/11, р(C11)=5/11.
32. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4, из второй –6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? Отв. р (I)=18/59; р(II)=21/59; p(III)=20/59.
33. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту. Отв. 0,998.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие события называются несовместными, совместными, независимыми, зависимыми, противоположными?
2. Дайте определение суммы и произведения событий.
3. Что называется полной группой событий?
4. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.
5. Сформулируйте теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу.
6. Сформулируйте теорему сложения вероятностей противоположных событий.
7. Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.
8. Сформулируйте теорему умножения вероятностей зависимых событий.
9. Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместных событий.
10. В каких случаях применяются формула полной вероятности и формулы Байеса?
ЛИТЕРАТУРА
1. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. -Изд.7-е, стер. -М.: Высш. шк. 2001.-479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. -Изд.5-е, стер.– М.: Высш. шк. 2001. -400 с.
3. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1991. -157 с.
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 . -543 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………...........……3
1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий....……3
2. Теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу…………………. …..……………………………………….4
3. Теорема сложения вероятностей противоположных событий…………………………………………………………………..5
4. Теорема умножения вероятностей независимых событий...……6
5. Теорема умножения вероятностей зависимых событий…...……9
6. Теорема сложения вероятностей совместных событий………..11
7. Формула полной вероятности……………………………………12
8. Вероятность гипотез. Формулы Байеса…………………………15
9. Задачи для самостоятельного решения………………………....17
10. Контрольные вопросы…………………………………………...21
Литература….………………………………………………………..22
Юлия Борисовна Егорова
Игорь Михайлович Мамонов
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРЫ СОБЫТИЙ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Высшая математика»
Редактор А.Н. Прохорова
Подп. в печать 01.02.2006. Уч.-изд.л. -1,04. Тираж 50 экз. Зак. №96
Издательский центр МАТИ, 109240, Москва Берниковская наб., 14