Пример 7.
Пусть отношение R - "быть отцом", определенное на множестве людей М = {а, b, с, d, e, f, g, h}, представлено схемой рис.3. Задать списком отношение R. Определите (назовите) родственные отношения между следующими парами: (a, b), (a, d), (b, с), (b, d), (b, h), (с, d).
Ø 1) R = {(a, b), (a, c), (b. d), (b, e), (b,f), (c, g), (c, h)} -"быть отцом".
2) a - отец для b; a - дед для d; b - родной брат для с; b -отец для d; b - дядя для h; с - дядя для d.
В целом заданная матрица отношения R - "быть отцом" -позволяет установить новые отношения между элементами множества М, в том числе:
R1 = {(a, d), (a, е), (a,f), (a, g), (a, h)} - "быть дедом";
R2= {(b, с), (с, b), (d, e), (e, d), (d, f), (f,d), (e, f), (f,е), (g, h), (h, g)} - "быть родным братом или сестрой";
R3 = {(d,g), (g, d), (d,h), (h,d), (e, g), (g, e), (e, h), (h, e), (f,g), (g,f), (f, h), (h,f)} -"быть двоюродным братом или сестрой";
R4 = {(b, g), (b, h), (c, d), (с, е), (с,f)} - "быть дядей";
R5 = {(g, b), (h, b), (d, c), (e, с), (f, с)} - "быть племянником или племянницей";
R6 = {(b, a), (с, a), (d, b), (e, b), (f, b) (g, с), (h, с)} - "быть сыном или дочерью".
Уточним потомков b и с. Пусть d и g- дочери, e,f и h-сыновья для b и с соответственно. Тогда:
R7 = {(b, с), (с, b), (e,f)б (f, e)} - "быть родным братом" (очевидно, что R7 Í R2;
R8 = {(b, а), (с, a), (e, b), (f, b), (h, с)} - "быть сыном" (очевидно, что R8 Í R6).
R9 = {(d,c), (g,b)} - "быть племянницей" (R9 Í R5) и т.д.
Свойства бинарных отношений.
Пусть R - отношение на множестве М, R Í М ´ М. Тогда:
1) R -рефлексивно, если имеет место aRа для любого а Î М (например, отношение "жить в одном городе" - рефлексивно);
2) R - антирефлексивно, если ни для какого а Î М не выполняется aRа (например, отношение "быть сыном" - антирефлексивно);
3) R - симметрично, если aRb влечет bRа (например, отношение "работать на одной фирме" - симметрично);
4) R - антисимметрично, если aRb и bRа влекут а = b, т.е. ни для каких различающихся элементов а и b (а ¹ b) не выполняется одновременно aRb и bRа (например, отношения "быть сыном", "быть начальником" - антисимметричны);
5) R - транзитивно, если aRb и bRc влекут aRс (например, отношения "быть моложе", "быть братом" - транзитивны).