Уравнение неразрывности несмешивающих жидкостей
Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений.
Уравнения неразрывности
Для вывода уравнения неразрывности рассмотрим баланс вытесняющей однородной жидкости (см. гл. 3). Выделим в фильтрационном потоке элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами Dx, Dy, Dz (Рис. 3.4). Найдем массу воды, которая входит в выделенный объем вдоль оси x за время Dt. Обозначим левую и правую грани индексами 1 и 2. Через левую грань войдет масса (rв uвx)1 Dy Dz Dt, а через правую грань войдет масса (rв uвx)2 Dy Dz Dt
Рис. 3.4
. Схема элемента пласта |
Тогда внутри объема останется масса равная разности этих масс d mвx. Если расстояние между гранями Δx устремить к нулю, то эта разность преобразуется к виду:
| (3.13) |
Аналогично можно найти массы, которые останутся внутри объема при движении вдоль осей y и z. Таким образом, общая масса оставшаяся внутри объема равна сумме этих масс
 .
| (3.14) |
С другой стороны масса жидкости внутри порового пространства выделенного объема равна произведению плотности r, пористости m, водонасыщенности sв и объема. Поэтому увеличение массы для бесконечно малого промежутка времени равно:
| (3.15) |
Прировняв эти массы и преобразовав полученное уравнение, получим дифференциальное уравнение неразрывности потока:
 .
| (3.16) |
Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нестационарность движения, поэтому если это слагаемое равно нулю, по движение стационарно. Остальные слагаемые отвечают за движение вдоль соответствующих осей.
Отметим, что уравнение неразрывности потока справедливо только в том случае, если поток неразрывен, то есть в потоке нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.). В дивергентном виде это уравнение записывается:
 .
| (3.17) |
Аналогично выводится уравнение неразрывности для нефти:
 .
| (3.18) |
В частных случаях уравнение упрощается. Для плоскопараллельного потока (приток к галерее)
 .
| (3.19) |
Для плоско радиального потока (приток к скважине)
| (3.20) |
Для сжимаемой фазы ее плотность, масса и насыщенность в рассматриваемом элементарном объеме могут изменяться во времени. Если за некоторый промежуток времени в объем втекает большее количество жидкости, чем вытекает, то ее плотность и насыщенность в этом объеме увеличатся (и наоборот).
Если вытесняемая и вытесняющая фазы — слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.
Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то уравнения неразрывности принимают вид:
| (3.21) |