АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬТ-АМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

 

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки “близости” этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала Umin ≤ u ≤ Umаx, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u . Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой ξ(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤b, т. е. по величине

 

. (10)

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е, величина

 

.

 

Иногда под близостью двух функций f(x) и ξ(х) понимают совпадение в заданной точке х0 самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и ξ(х) в выбранных точках (узлах интерполяции) xk, k = 0, 1, 2, ..., n.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислении как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно “правильно” воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

 

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...anxn

 

той или иной степени.

Постоянные a0, a1, a2,..., an представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации а ≤ х ≤b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и ξ(х), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(xk) = ξ(хk) в каждом из узлов интерполирования xk, k = 0, 1, 2,..., n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

 

(11)

 

с таким же числом неизвестных коэффициентов a0, a1, a2,.., an интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система уравнений (11) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0≤х≤1,5 полиномом первой степени f(x) =a0+ a1х функции ξ(х) =1- е, заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть п + 1 = 2, при x0 = 0,1 и х1 = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов а0 и а1 будет такой: а0 + а1 ∙ 0,1 = =1- е-0,1 и а0 + а1 = 1- е-1. Из ее решения следует а0 = 0,036, а1 = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и ξ(х) приведены на рис. 17. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0≤ х ≤ 1,5 наибольшая погрешность |f(x) - ξ(x)|, т. е. max|f(x) - ξ (x)| находится на одной из границ интервала при х=-1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функции ξ (х) =1- е и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x0= 0,15, х1= 0,6 и х2= 1,2 практически совпадают.

 

Рис. 17. Графики функций f(x) и ξ(х) Рис. 18. График разности функций

f(x) и ξ(х)

Рис. 19. Аппроксимирующей функция f(x) и функция ξ(х)

 

На рис. 18 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации контролируется во всем интервале приближения а ≤ х ≤ b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П. Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции ξ(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (10), чтобы в интервале а ≤ х ≤ b

 

. (12)

 

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет полином f(x) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции ξ(х) =1- е в интервале 0 ≤ х ≤1,5 расположены при х = 0, х = хm =0,658 и х=1,5 (см. рис. 19), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (a1) или уровня (a0) полинома f(x), которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x)=0,071+0,518х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1- е в интервале 0 ≤ х ≤1.

В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции ξ(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность f(x) - ξ(х) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f(x) - ξ(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - ξ(х) = -L значения (критерий Чебышева).

 

Рис. 20. Характер графика разности f(x) - ξ(х) для полинома f(x) пятой степени

 

Характер графика разности f(x) - ξ(х) для полинома f(x) пятой степени, удовлетворяющего этому критерию, приведен на рис. 20. Этому же критерию удовлетворяет полином f(x) в рассмотренном выше примере (см, рис. 18).

Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(x) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а≤ х ≤b квадрата отклонения функции f(x) от заданной непрерывной функции ξ(х), т. е., из условия:

. (12.1)

 

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов ак аппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений

 

 

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно. Так, в рассматриваемом примере система уравнений при аппроксимации в интервале 0 ≤ х ≤ 1,5 функции 1- е полиномом первой степени такова:

 

 

или после преобразований:

 

3а0 + 2,25а1 = 1 + 2 ∙ е-1,5; 2,25а0 + 2,25а1 = 0,25 - 5 ∙ е-1,5.

 

Заметим, что, как правило, средняя квадратическая погрешность наилучшего равномерного приближения функций f(x) и ξ(х) лишь не намного отличается от минимально возможной. Обратное утверждение обычно ошибочно, т. е. при квадратической аппроксимации в некоторых участках интервала аппроксимации возможны существенные превышения погрешности аппроксимации (выбросы) по сравнению с теми, которые соответствуют критерию (12).

Вернемся к вольт-амперным характеристикам. Общий вид записи степенного полинома, аппроксимирующего ВАХ:

 

I = а0 + а1u+ а2u2 + ... + аnun

 

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности рабочей точки U0. Тогда используют степенной полином другого вида:

 

I = а0 + а1( u - U0) + a2(u - U0)2 + ... + an( u - U0)

 

 

Пример

Рис. 21. ВАХ нелинейного резистпвного элемента

 

Используя метод интерполяции, аппроксимировать ВАХ нелинейного резистивного элемента (рис. 21) степенным полиномом. Аппроксимированная ВАХ должна совпадать с заданной в выбранных точках U0, U1 и U2.

Составим систему уравнений:

 

 

из которой найдём искомые коэффициенты

 

Пример

 

ВАХ нелинейного резистивного элемента i = F(u) задана таблицей:

 

uк 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
iк 0.06 0.23 0.5 0.85 1.18 1.65 2.3 2.9

 

Используя квадратический критерий, аппроксимировать характеристику выражением i= а2u2.

Сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданной:

минимальна при значении коэффициента а2, удовлетворяющего уравнению

 

откуда

Пример

 

На рис. 22 кружочками показаны полученные экспериментально пять точек характеристики iБ = F(uБЭ) транзистора КТ301. Осуществим степенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне uБЭ от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки U0 = 0,7 В.

Коэффициенты а0, a1,...,an полинома iБ = а0 + a1(uБЭ - U0)2 найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям 0,5; 0,7 и 0,9 В и составим систему уравнений:

 

 

Рис. 22. Характеристики iБ = F(uБЭ) транзистора

 

Решение этой системы дает а0 = 0,15 мА, a1 = 1,125 мА/В, a2 =3,125 мА/В . Кривая тока iБ = 0,15 + 1,125(uБЭ - 0,7) + 3,125(uБЭ - 0,7)2 проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (см. рис. 22, кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при UБЭ = 0,4 В) плохо “ложатся” на эту кривую. Кроме того, появляется загиб в нижней части характеристики.

Лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени п выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока iБ пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень пол случае кривая тока iБ пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для определения коэффициентов аs. Найдем эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока по всем пяти экспериментальным значениям.

Составим уравнения:

 

 

Решение этой системы уравнений дает: а0 = 0,164 мА, a1 = 1,07 мА/В и а2 = 2,069 мА/В2.

График тока при этом определяется полиномом

 

iБ = 0,164 + 1,07(uБЭ -0,7} + 2,069(uБЭ - 0,7)2

 

и показан на рис. 22, кривая 2. Эта характеристика является более приемлемой Для аналитического описания экспериментальных результатов.