Определение 8.9.

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределениена интервале [a, b], если на этом интервале плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е. если

(8.25)

где с = const.

 

Равномерное распределение иногда называют законом равномерной плотности.

График плотности f(x) для равномерного распределения изображен на рис. 8.3.

 

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице, и все значения случайной величины принадлежат интервалу [а,b], то должно выполняться равенство:

(8.26)

или

отсюда

Итак, закон равномерного распределения аналитически можно записать в виде:

(8.27)

 

Найдем выражение функции распределения F(x) для равномерного распределения на интервале [a, b].Согласно формуле (8.27), имеем:

(8.28)

 

При х < а имеем F(x) = 0, а при х > b имеем F(x) =1.

Таким образом,

(8.29)

График функции F(x) изображен на рисунке 8.4.

 

Определим основные числовые характеристики случайной величины X, имеющей равномерное распределение.

Математическое ожидание

(8.30)

 

Итак, математическое ожидание равномерного распределения находится посередине интервала [a, b]. В силу симметричности распределения медиана величины Хсовпадает с математическим ожиданием:

Моды равномерное распределение не имеет.

 

Дисперсию случайной величины X находим по формуле (8.22):

(8.31)

 

Среднее квадратическое отклонение:

 

В силу симметричности распределения, центральный момент третьего порядка, следовательно, и коэффициент асимметрии для закона равномерной плотности равны нулю

 

Четвертый центральный момент:

(8.32)

Коэффициент эксцесса:

Вероятность попадания случайной величины X, имеющей равномерное распределение, на участок [α, β], который является частью участка [a, b], определяется по формуле:

(8.33)

Примером случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятностей, может служить ошибка при снятии показаний с измерительных приборов, если производится округление отсчета до ближайшего целого деления.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие случайные величины являются непрерывными?

2. Какая функция распределения используется для характеристики непрерывных случайных величин?

3. Дайте определение дифференциальной функции распределения вероятностей. Каким условиям она должна удовлетворять?

4. Сформулируйте и объясните свойства функции распределения и плотности распределения непрерывных случайных величин.

5. По какой формуле определяется вероятность попадания случайной величины X в интервал от α до β?

6. Как графически изображается функция у =f(x)?

7. Перечислите числовые характеристики непрерывных случайных величин. По каким формулам они определяются и в чем их смысловое значение?

8. Для чего используются начальные и центральные моменты? Как они рассчитываются?

9. Для чего служат эксцесс и коэффициент ассимметрии?

10. Дайте характеристику равномерного распределения.