Градиент, дивергенция, ротор в криволинейных координатах
Пусть 
- биективное и непрерывно дифференцируемое отображение области 
на область 
В координатном виде:
координаты 
называются криволинейными координатами точек области 
Поверхности 
являются координатными. Координатные линии имеют вид: 
(линия изменения 
), 
(линия изменения 
), 
(линия изменения 
).
Примеры: 1) цилиндрические координаты 
Поверхности 
круговые цилиндры с осью 
, поверхности 
- полуплоскости, ограниченные осью , плоскости 
- горизонтальные плоскости. Координатные линии: изменения 
- горизонтальные лучи, выходящие из точек оси 
изменения 
- горизонтальные окружности с центром на оси изменения 
- вертикальные прямые.
2) сферические координаты 
Координатные поверхности: 
- сферы с центром в точке 
, - полуплоскости, ограниченные осью 
- круговые полуконусы с вершиной в начале координат и с осью 
Координатные линии: изменения 
- лучи, выходящие изначала координат, изменения 
- полуокружности с центром в начале координат и с концами на оси изменения - горизонтальные окружности с центром на оси
Обозначим: 
- единичные векторы касательных к координатным линиям . Будем считать их ортогональными. Векторы 
направлены по касательной к координатным линиям: 
где 
- коэффициенты Ламэ.
Примеры. 1) цилиндрические координаты: 
2) сферические координаты:
Возьмём координатную поверхность 
нормаль к ней направлена по 
, а в силу ортогональности координат, направлена по касательной к линии 
т.е. по 
, следовательно: 
Покажем, что 
Действительно,
По линейной независимости 
коэффициенты левой и правой частей полученного равенства при одинаковых дифференциалах совпадают, но в левой части отличен от нуля и равен 1 только коэффициент при 
следовательно, 
а остальные коэффициенты правой части есть нули. Тогда
Таким образом, 
Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей, и обозначим 
длины рёбер ячейки. Имеем: 
Действительно, с точностью до бесконечно малых порядка выше первого 
- Градиент
По определению градиента 
Используя (1), получим: 
(2) 
Примеры. 1) цилиндрические координаты: 
2) сферические координаты: 
2.Дивергенция
Рассмотрим параллелепипед – элементарную ячейку - 
и подсчитаем поток поля 
через грань 
На ней 
- нормаль направлена вне тела. Тогда 
причём здесь 
определяются на поверхности 
при 
. Аналогично поток поля через грань 
приближённо равен 
но здесь 
подсчитываются при 
. Используя формулу Тейлора, получим: 
, где 
Тогда сумма потоков через противоположные грани параллелепипеда равна: 
Определяя потоки через две другие пары противоположных граней и складывая их, найдём: 
где 
- с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Итак, 
Примеры.
1) цилиндрические координаты: 
2) сферические координаты: 
Ротор
Найдём проекции ротора на координатные линии: 
где 
- проекция поля на направление касательной к кривой интегрирования. На 
изменяется от до 
и 
На 
изменяется от 
до , 
при этом 
имеет значение 
Формула Тейлора приводит к следующему результату: 
Тогда, используя теорему о среднем, будем иметь: 
Аналогично, находим: 
Итак, 
Определив ещё две проекции, получим:
Примеры.
1) цилиндрические координаты:
2) сферические координаты:
