Биномиальный закон распределения, Гипергеометрическое распределение, Распределение Коши, Распределение Релея.

Задания для предварительной самостоятельной подготовки

1. Уяснить связь между различными способами задания случайной величины

2. Определения прямого и обратного преобразования Фурье

Задачи

1. По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пяти ракет, причем вероятность р попадания в цель при каждом пуске равна 0,8. Построить: 1) ряд распределения числа попаданий; 2) многоугольник распределения; 3) функцию распределения F(х) числа попаданий.

2. Плотность распределения вероятности р(х) случайной величины Х имеет вид р(х)=aехр(-b½х½), -¥<х<¥, где a и b - постоянные величины. Требуется: 1) найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные a и b, 2) вычислить функцию распределения F1(x) случайной величины Х; 3) построить графики плотности вероятности р(х) и функции распределения F(х) при b=2.

3. Случайная величина Х удовлетворяет неравенству -1 £ Х £1, причем в интервале от -1 до +1 она распределена равномерно, а каждое из значений -1 и +1 принимает с вероятностью 1/4. Необходимо: 1) найти и построить функцию распределения F(х) случайной величины Х; 2) вычислить вероятность Р того, что случайная величина Х попадет в интервал -1/2 до +1/2.

4. Случайные ошибки измерения дальности до неподвижной цели подчинены гауссовому закону с математическим ожиданием m=5 и средним квадратическим отклонением s =10 м. Определить вероятность того, что: а)измеренное значение дальности отклонится от истинного не более чем на 15 м; б) при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 15 м.

5. Производится стрельба по подвижной цели до первого попадания. Вероятностьр попадания при каждом выстреле равна 0,4. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Вычислить: 1)математическое ожидание mх случайной величины Х - числа израсходованных снарядов; 2) дисперсию sх и среднее квадратическое значение sх величины Х.

6. Случайная величина Х имеет распределение Лапласа, плотность вероятности р(х) которого р(х)= l/2е--l½х½ , l>0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.

7. По каналу связи с помехами передается кодовая комбинация, состоящая из двух импульсов. В результате независимого воздействия помехи на эти импульсы каждый из них может быть подавлен с вероятностьюр. Определить характеристическую функцию q(jv) случайной величины Х - числа подавленных помехами импульсов.

8. Случайная величина Х имеет равномерную плотность вероятности в интервале от -b/2 до b/2. Определить характеристическую функцию q(jv) случайной величины Х и нарисовать ее график.

9. Найти плотность вероятности р(х) случайной величины Х, характеристическая функция имеет вид q(jv) = 1/(1 + v2).

10. Найти характеристическую функцию гауссовой случайной величины.

11. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры : 0 и 1. Априорные вероятности передачи этих цифр р(0) и р(1) равны 0,5. Из-за помех возможны искажения. Вероятности перехода единицы в единицу и нуля в нуль равны р(1|1)=p, p(0|0)=q. Определить закон распределения вероятностей случайной величины Х – однозначного числа, которое будет получено на приемном конце в некоторый момент времени.

12. Из 10 транзисторов, среди которых 2 бракованных, случайным образом выбраны 2 транзистора для контроля их параметров. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа Х бракованных транзисторов в выборке.

13. Вероятность получения одной отметки цели на экране локатора при одном обороте его антенны равна р. Цель считается обнаруженной, если получено ровно n отметок. Найти закон распределения числа оборотов антенны при условии обнаружения цели.

14. Последовательные ускоренные испытания приборов на надежность производятся до первого отказа, после чего прекращаются. Найти плотность вероятности случайной величины Х – числа испытанных приборов, если отказ каждого прибора происходит с вероятностью 0,5.

15. Сообщение передается последовательностью модулированных по амплитуде импульсов с заданным шагом квантования С (наименьшая разность амплитуд двух импульсов). На сообщение накладываются шумы, распределенные по гауссовскому закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D. Если величина шума превышает половину С, в передаваемом импульсе сообщения возникает ошибка. Определить, при каком минимально допустимом шаге квантования вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.

16. На электронное реле воздействует случайное напряжение с рэлеевской плотностью вероятности . Какова вероятность срабатывания соединенной с реле схемы, если электронное реле срабатывает всякий раз, когда напряжение на его входе превысит 2 В.

17. Показать, что распределение с характеристической функцией дается плотностью вероятности .

18. Вероятность отыскания малоразмерного объекта в заданном районе в каждом вертолетном вылете равна р. Определить математическое ожидание и дисперсию числа независимо произведенных вылетов, осуществляемых до первого обнаружения объекта.

19. На радиомаяк-ответчик в среднем поступает 15 запросов в час. Считая число запросов случайной величиной, распределенной по закону Пуассона, определить вероятности того, что за 4 минуты поступит ровно 3 запроса и того, что за это время поступит хотя бы 1 запрос.

20. Сообщение передается квантованными импульсами с шагом квантования С=1 В. Предполагая, что ошибка квантования равномерно распределена в пределах шага квантования, определить дисперсию (мощность) шума квантования.