I. Элементы функционального анализа.

ПРОГРАММА

Государственного экзамена «Вычислительная математика»

для студентов проходящих итоговую аттестацию по присвоению квалификации «Математик, системный программист» по специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»

 

Таганрог 2013

В соответствии с государственным образовательным стандартом, итоговый государственный экзамен «Вычислительная математика» является одним из видов аттестационных испытаний в составе итоговой государственной аттестации выпускников по присвоению квалификации «Математик, системный программист» по специальности 010501 «Прикладная математика и информатика». Он проводится с целью проверки объема и качества общей, общепрофессиональной и специальной подготовки студентов по специальности 010501 и наряду с требованиями к содержанию отдельных дисциплин учитывает также общие требования к знаниям и умениям выпускника по циклам дисциплин, предусмотренным Государственным образовательным стандартом по специальности 010501 «Прикладная математика и информатика». Ниже приведен перечень экзаменационных вопросов по различным дисциплинам, входящим в профессиональную образовательную программу и учебный план специальности 010501.

I. Элементы функционального анализа.

 

1. Метрические пространства.

Определение метрического пространства и примеры метрических пространств.

Открытые и замкнутые, всюду плотные и совершенные множества.

Сходимость, непрерывные отображения, компактность.

Пополнение метрических пространств, основные теоремы в полных метрических пространствах: принцип вложенных шаров, теорема о категориях, принцип сжимающих отображений.

Компактность в метрических пространствах. Счетная и секвенциальная компактность.

2.Топологические пространства.

2.1.Определение топологического пространства. Аксиомы отделимости.

2.2. Хаусдорфово топологическое пространство.

3. Линейные операторы.

3.1. Группа, кольцо, поле, линейное пространство.

3.2. Линейные операторы, пространство операторов.

4. Банаховы пространства и основные принципы функционального анализа.

Выпуклые множества, функционал Минковского и полунормы.

Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах. Принцип равномерной ограниченности (формулировка).

Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отображения (формулировка).

Продолжение операторов и функционалов. Принцип продолжения Хана-Банаха (формулировка).

5. Теория интеграла Лебега.

Измеримые множества и функции.

Определение и свойства интеграла Лебега.

Пространство .

6. Гильбертово пространство.

6.1.Определение гильбертова пространства. Примеры пространств. Базис. Полные и сепарабельные пространства.

6.2. Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.

6.3. Сопряженный оператор.

6.4. Вполне непрерывный оператор.

7. Элементы спектральной теории операторов.

Симметрические и знакоопределенные операторы. Спектр симметрического оператора в конечномерном случае. Квадратный корень из симметрического оператора. Кососимметричные операторы.

Унитарный и ортогональный операторы.