Гомотетия плоскости

Определение 1. Гомотетией плоскости с центром О и коэффициентом k (k ¹ 0) называется отображение плоскости в себя, при котором для любой точки Х и её образа Х^’ выполняется равенство

= k

Согласно определению гомотетия есть тождественное преобразование плоскости, а гомотетия – центральная симметрия плоскости относительно точки О.

Теорема 1. Для любых двух точек X, Y и их образов X^¢, Y^¢ при гомотетии плоскости имеет место равенство

Доказательство. Так как

= - = k = k ,

то .

▄

 

Теорема 2. Любая гомотетия плоскости является преобразованием плоскости.

Доказательство. Согласно определению гомотетия плоскости является отображением плоскости в себя. Рассмотрим две различные точки плоскости Х и Y . Согласно предыдущей теореме для их образов имеет место равенство . Из этого равенства следует, что точки так же различные. Значит, гомотетия является инъективным отображением плоскости.

Рассмотрим произвольную точку Y плоскости. Для вектора и k¹0 найдется единственный вектор = . Тогда получим = k .

Следовательно, (Х) = Y. Таким образом, каждая точка плоскости имеем единственный прообраз при гомотетии . Получили, что гомотетия является сюръективным отображением. Итак, гомотетия плоскости является преобразованием плоскости.

▄

Теорема 3. Композиция двух гомотетий плоскости с общим центром есть гомотетия с тем же центром, при этом

× = .

Доказательство. Обозначим

(Х) = Y, (Y) = Z.

Для любой точки Х выполняется равенство

= m = (km) .

Следовательно, Z = (Х) и ◦ = .

▄

Следствие. ( (Х)) ^–1 = (Х).

Теорема 4. Образом прямой при гомотетии плоскости есть прямая, параллельная ей.

Доказательство. Пусть прямая ℓпроходит через точку А. Обозначим через A^¢ образ точки А при гомотетии , через ℓ'^{¢ -} прямую, проходящую через точку A^¢ параллельно прямой ℓ. Рассмотрим произвольную точку М прямой ℓ и обозначим М^’ = (M).

Так как

= – = k = k ,

то точка М^’ принадлежит прямой ℓ' .

С другой стороны, при обратном преобразовании образ любой точки прямой ℓ'^¢ принадлежит прямой ℓ. Действительно

= = – = .

Следовательно, точка М принадлежит прямой ℓ и ℓ'^¢ = (ℓ).

▄

Теорема 5. Образ луча при гомотетии плоскости есть луч, параллельный ему; образ отрезка при гомотетии есть отрезок, параллельный ему.

Доказательство. Рассмотрим отрезок АВ и гомотетию . Тогда мы имеем векторное равенство

,

MÎ[AB] Û t| (3)

Пусть мы имеем гомотетию пространства с центром О и коэффициентом k (k ¹ 0). Тогда

:

При этом мы получим

,

.

Заменяя в равенстве (3) векторы на соответствующие со штрихами, получим

Û M¢Î[A¢B¢].

Следовательно,

: [AB] ® [A¢B¢].

То, что отрезки лежат на параллельных прямых вытекает из предыдущей теоремы. Докажем, что образом луча будет луч. Для этого воспользуемся условием

MÎ[AB) Û t| .

Тогда повторяя предыдущие рассуждения, получим

Û M¢Î[A¢B¢).

Следовательно, : [AB) ® [A¢B¢).

То, что лучи лежат на параллельных прямых вытекает из предыдущей теоремы.

▄

Теорема 6. Всякая гомотетия плоскости сохраняет величину угла.

Доказательство. Пусть дан угол АВС. Его образ при гомотетии обозначим A^’B^’C^’. Справедливость теоремы следует из равенств

 

cosÐA^’B^’C^’ = cos ÐABC .

▄

Замечание. Нетрудно заметить, что при гомотетии неподвижными элементами являются:

1. Центр гомотетии.

2. Все прямые, проходящие через центр гомотетии.

3. Каждые две окружности с равными радиусами и центрами в точках О и О¢ можно рассматривать как преобразованные одна из другой при помощи отражения от точки О¢¢, середины отрезка ОО¢, то есть гомотетии с коэффициентом k = –1, или параллельным переносом на вектор .

Для нахождения центра гомотетии двух окружностей с неравными радиусами проведем два противоположно направленных луча [OA) и [O¢A¢), где точки А и А' будут соответствующими при данной гомотетии. Тогда точка S, полученная в пересечении прямых ОО¢ и AA¢, будет искомым центром.

Доказательство свойства 3 непосредственно вытекает из определения гомотетии и того факта, что при k = –1 гомотетия является центральной симметрией.

Теорема 10. Композиция двух гомотетий есть гомотетия (или перенос), причём центры всех трёх гомотетий лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть при гомотетии фигура Ф₁ отображается на Ф₂, а при гомотетии фигура Ф₂ отображается на фигуру Ф₃. При гомотетии любой вектор отображается на вектор , причём

= k₁ × .

При гомотетии вектор отображается на вектор , причём

= k₂ × . Отсюда = k₁ × k₂ .

Это равенство имеет место для любых соответственных векторов. Всякая прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, тогда прямая РQ отображается сама на себя при композиции данных гомотетий. Рассмотрим прямые А₁А₃ и В₁В_3.. Если | А₁А₃ | ¹ | В₁В₃| , то прямые А₁А₃ и В₁В₃ пересекаются в некоторой точке S, которая будет центром гомотетии с коэффициентом k₁ × k₂ ¹1 . При этом, и точка S лежит на прямой PQ.

Определение. Прямая, на которой лежат три центра гомотетии попарно гомотетичных фигур, называется осью гомотетии этих фигур.

Если k = k₁ × k₂ = 1, то гомотетия является тождественным преобразованием. В этом случае для любых соответственных пар векторов и , и , и и т.д. выполняются равенства

= ; = ; = .

Из первого равенства следует, что фигура А₁В₁В₃А₃ является параллелограммом, отсюда получаем: = . Точно так же доказываем, что = . Отсюда = = = …, т.е. точки А₁, В₁, С₁ …отображаются на точки А₃, В₃, С₃ … параллельным переносом, что требовалось доказать.

▄

Замечание. Для построения центра гомотетии (в случае k = k₁ × k₂ ¹ 1) надо знать положение центров Р и Q и три соответственных точки А₁, А₂, А₃.